¿Qué valores da el área mínima de la elipse?

Requerimos que las dos cónicas se toquen entre sí. eliminando$x^2$conduce a la ecuación cuadrática

$$(A-B)y^2+2By-AB=0$$

Asumiendo$A\neq B$, aplicando la condición de que el discriminante sea cero conduce a la ecuación

$$A^2-AB+B=0$$

Ahora necesitamos minimizar el área$\Delta=\pi\sqrt{AB}$.

Por lo tanto podemos diferenciar

$$\Delta^2=\pi^2AB=\pi^2\frac{A^3}{A-1}$$

Establecer la derivada en cero dará

$$A=\frac 32, B=\frac 92$$

Se ve fácilmente que esto proporcionará el área mínima ya que no hay un máximo. Por lo tanto los semiejes son

$$\sqrt{A}=\sqrt{\frac 32}, \sqrt{B}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

El área mínima de la elipse es entonces

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}\pi$$

El problema ya ha sido resuelto. Si pongo un segundo círculo$x^2+(y+1)^2=1$En el diagrama, el problema es:

¿Cuál es la elipse del área más pequeña que puede encerrar dos círculos unitarios que no se superponen?

En el Centro de embalaje de Erich Friedman, se da la siguiente respuesta de James Buddenhagen:

La elipse que resuelve tanto el problema anterior como la pregunta original tiene un semieje mayor$\frac{3}{\sqrt2}$, eje semi-menor$\sqrt\frac32$y área$\frac{3\sqrt3\pi}2$.

De la ecuación$x^2+(y-1)^2=1$, la circunferencia tiene centro$(0, 1)$y radio$1$. Por lo tanto, los puntos en él con mínimo y máximo$x$y$y$los valores son$(0, 0), (1, 1), (0, 2), (-1, 1)$.

Como la elipse tiene centro en el origen, debe tener un máx.$y$valor de al menos$2$y un máximo$x$valor de al menos$1$.

para la ecuacion$\dfrac{x^2}{A}+\dfrac{y^2}{B}=1$, esto significa que$A \ge 1$y$B \ge 4 = 2^2$.

Sin embargo, si la elipse tiene una curvatura mayor en la parte superior que el círculo, se cruzará con el círculo. El radio de curvatura de la elipse con$A=1, B=4$es$\frac{a}{b} =\frac14$, que es más pequeña que la del círculo, que es$1$. Entonces, tenemos que modificar los valores de$A$y$B$de modo que la elipse es tangente a la circunferencia.

Una manera fácil de hacer esto es hacer que la elipse sea un círculo de radio$2$, entonces los valores son$A=B=4$.

Otra posibilidad es hacer$A$un poco más grande y$B$más grande para que la elipse sea tangente al círculo en dos puntos. Creo que, para cualquier$A> 1$, El valor de$B$que hace que esto suceda podría determinarse, pero no tengo ganas de resolverlo. La respuesta deseada sería la que minimiza$AB$.