Ubicar un punto a una distancia dada de otro punto en una elipse

Similar a Punto en la circunferencia a una distancia dada de otro punto , pero para una elipse. Desafortunadamente, la diferencia no es trivial.

Tengo una elipse y un punto (C) que está en algún lugar de la elipse. Me gustaría determinar la ubicación de algún otro punto en la elipse lejos de ese punto, en una dirección (A) o en la otra (B) por una distancia dada en línea recta (r). Esto es aparentemente equivalente a encontrar las intersecciones entre la elipse y un círculo C con radio r.

Ilustración de intersección de elipse y círculo

A continuación, considere que un "punto" significa "las coordenadas cartesianas de un punto".

Conocido:

  • Una elipse definida en términos del punto central C e y las longitudes del radio r x , r y
  • Un punto C en la elipse (o, de manera equivalente, el ángulo del rayo desde C e hasta C)
  • Una distancia r (r > 0)
  • La dirección de rotación, ya sea en sentido horario o antihorario

Desconocido:

  • Un punto en la elipse en la dirección dada desde C que también está a una distancia de r de C a lo largo de una línea recta (o, equivalentemente, el ángulo del rayo desde C e a dicho punto); específicamente,
    • A, si el sentido de giro es en sentido antihorario .
      • Actualización: si hay varios candidatos para A, se selecciona el candidato cuyo segmento se alinea más estrechamente con la elipse. (Si no me equivoco, se puede decir que un candidato A se alinea más estrechamente con la elipse si el área entre el segmento y el arco en sentido antihorario que cruza, comenzando en C, es más pequeña que la de otro candidato. Probablemente haya otros medidas para esta determinación.)
    • B, si el sentido de giro es en el sentido de las agujas del reloj
      • Actualización: si hay varios candidatos para B, se selecciona el candidato cuyo segmento se alinea más estrechamente con la elipse. (Si no me equivoco, se puede decir que un candidato B se alinea más estrechamente con la elipse si el área entre el segmento y el arco en el sentido de las agujas del reloj que cruza, comenzando en C, es más pequeña que la de otro candidato. Probablemente haya otros medidas para esta determinación.)

Intuitivamente, hay algo de r max para cada conjunto de otras entradas de modo que, para r = r max , el resultado es el mismo en cualquier dirección (porque el círculo se cruza con la elipse en un punto en lugar de dos), y que para r > r max , no hay solución (porque no hay intersección en absoluto).

No pude ubicar las fórmulas que implementan esto, pero es probable que simplemente no supiera qué terminología buscar. ¿Pensamientos?

Actualización: como MvG señala a continuación, me perdí los casos en los que son posibles hasta cuatro intersecciones. (En realidad, los había considerado, pero dado solo un examen superficial, pensé que esto no se aplicaba si el centro del círculo estaba en la elipse. Vaya). Por lo tanto, es posible que la dirección no identifique un segmento de manera única. Los requisitos adicionales se dan arriba.

Es un polinomio cuartico que ubica estas intersecciones. ¿Está de acuerdo con el tipo de respuesta, asumiendo que se proporciona un polinomio explícito de los datos del problema?
El algoritmo puede ser más útil que la ecuación (léase: es para software), pero tomaré lo que pueda obtener. Entonces sí.

Respuestas (1)

Debes considerar la posibilidad de que el círculo y la cónica se corten en cuatro puntos:

Cuatro puntos de intersección

Entonces, incluso si conoce la dirección, esto podría no ser suficiente para definir de manera única la solución que desea. En cualquier caso, un círculo es un caso especial de sección cónica, por lo que una generalización de tu problema es la tarea de intersecar dos secciones cónicas . Esto generalmente involucra al menos la tarea de encontrar raíces de polinomios cúbicos. No puedo ver ningún enfoque en el que una cónica sea un círculo haría las cosas sustancialmente más fáciles, así que implementaría ese enfoque genérico y lo usaría aquí.

Debidamente anotado. A los efectos de este proceso, solo los dos segmentos que se alinean más estrechamente con la elipse serían correctos (los puntos más a la izquierda y más a la derecha de la imagen, pero no los dos intermedios). ¿Hay alguna contabilidad para eso?
Se actualizó la pregunta para mencionar el requisito adicional. Gracias.
@psmay: calcular solo dos de estos puntos no es fundamentalmente más fácil que calcular los cuatro. Todavía tienes que resolver una ecuación cúbica. Una vez que tenga los cuatro puntos, puede usar, por ejemplo, la distancia desde una línea tangente para identificar los relevantes.
¿Por qué cúbico? Como nota, hay cuatro raíces, potencialmente todas reales. ¿Estás pensando en la cúbica auxiliar para resolver una cuártica?
@hardmath: estoy pensando en el cúbico utilizado en el paso 2 de este enfoque . Si ese es el "cúbico auxiliar" al que se refiere, entonces sí, pero no estoy seguro de qué quiere decir exactamente allí.
Ubicar un punto a una distancia dada de otro punto en una elipse
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