¿Dónde vive el vector ket en el espacio amañado de Hilbert?

El papel es correcto. Tenga en cuenta que en un espacio de Hilbert amañado$(\mathcal S, \mathcal H, \mathcal S^*)$, tenemos eso$\mathcal S \subset \mathcal H \subset \mathcal S^*$. Eso es,$\mathcal S$(el conjunto de las llamadas funciones de prueba ) es un subconjunto de$\mathcal H$. La única razón por la que se requiere la construcción del espacio de Hilbert amañado en primer lugar es que los vectores ket corresponden a estados definidos de observables continuos como$X$y$P$en realidad no son elementos de$\mathcal H$, lo que significa que definitivamente no son elementos de un subconjunto de$\mathcal H$.

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Seré más explícito para abordar su pregunta adicional. Dejar$\mathcal H$ser$L^2(\mathbb R)$, que es (aproximadamente) el espacio de funciones cuadradas integrables$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb C$. Además, deja$\mathcal S$Sea el espacio de funciones suaves que decaen rápidamente, definido como sigue:

$$\mathcal S := \left\{f \in C^\infty(\mathbb R) : \forall m,n\in\mathbb N, \sup_x\left| x^n \cdot \frac{d^mf}{dx^m }\right|<\infty \right\}$$

Esencialmente,$\mathcal S$es el espacio de todas las funciones al que puede aplicar los operadores de posición y momento tantas veces como desee, con el resultado aún acotado. No es difícil demostrar que$\mathcal S\subset L^2(\mathbb R)$. Está menos claro que$\mathcal S$es denso en$L^2(\mathbb R)$, pero eso también pasa a ser cierto.

Un funcional lineal en$\mathcal S$es un mapa$\varphi:\mathcal S \rightarrow \mathbb C$tal que para todos$f,g\in\mathcal S$y$\lambda\in\mathbb C$,

• $\varphi(f + g) = \varphi(f)+\varphi(g)$
• $\varphi(\lambda f) = \lambda \varphi(f)$

Un funcional antilineal es el mismo, excepto$\phi(\lambda f)=\bar{\lambda} \phi(f)$donde la barra denota conjugación compleja.

El espacio de todos los funcionales lineales (que identificaremos como sujetadores) en$\mathcal S$se llama el espacio dual $S'$, mientras que el conjunto de todos los funcionales antilineales (que identificaremos como kets) en$\mathcal S$se llama el espacio antidual $S^*$.

Observe que cualquier elemento$f\in\mathcal H$se puede identificar con un funcional lineal$\varphi_f \equiv \langle f, \bullet \rangle$, que actúa sobre algunos$g\in\mathcal S$como sigue:

$$\varphi_f(g) = \langle f,g\rangle$$ Además, se puede identificar con un funcional antilineal .$\phi_f \equiv \langle \bullet , f \rangle$también: $$\phi_f(g) = \langle g,f\rangle$$ Esto implica al menos que$\mathcal H \subseteq S'$y$\mathcal H \subseteq S^*$. Sin embargo, los espacios$S'$y$S^*$son mucho más grandes que$\mathcal H$.

Funciones propias de momento

Obsérvese que la función$e^{ikx}$, que no es integrable al cuadrado y, por lo tanto, no es un elemento de$\mathcal H$, se puede identificar con el elemento de doble espacio$\varphi_k$y el elemento del espacio antidual$\phi_k$donde para todos$g\in \mathcal S$,

$$\varphi_k(g) = \int_{-\infty}^\infty \overline{e^{ikx}} g(x) dx = \int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}g(x) dx$$ y $$\phi_k(g) = \int_{-\infty}^\infty \overline{g(x)} e^{ikx} dx$$

Está más acostumbrado a la notación bra-ket, en la que$\varphi_k \equiv \langle k|$y$\phi_k \equiv |k\rangle$.

Funciones propias de posición

$S'$y$S^*$también contienen elementos que no corresponden a funciones en absoluto. La distribución delta de Dirac$\delta_a$es engañosamente simple - simplemente evalúa una función en$a$. Definir el funcional lineal$\delta_a$y el funcional antilineal$\delta^*_a$simplemente como

$$\delta_a (g) = g(a)$$ $$\delta^*_a (g) = \overline{g(a)}$$

De nuevo estás más familiarizado con la notación$\delta_x \equiv \langle x|$y$\delta^*_x \equiv |x\rangle$.

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como son las expresiones$\langle x|p\rangle, \langle x|y\rangle, \langle x|f\rangle$definido? ¿Existe algo así como un producto escalar o una norma definida en$S', S^*$?

Una forma de hacerlo es la siguiente. Tenga en cuenta que dado$f,g\in\mathcal H$y los funcionales lineales (resp. antilineales) asociados$\varphi_g$(resp.$\phi_f$), tenemos eso

$$\varphi_g(f) = \phi_f(g) = \langle g,f\rangle$$

Porque$\varphi_g \rightarrow \langle g|$y$\phi_f \rightarrow |f\rangle$, hacemos la identificación formal

$$\varphi_f(g) = \phi_f(g) \equiv \langle g | f \rangle$$

Entonces$\langle g | f\rangle$puede pensarse de manera equivalente como (i) mapeo$g$a su funcional lineal y alimentándolo$f$, o (ii) mapeo$f$a su funcional antilineal y alimentándolo$g$.

Extendiendo nuestra consideración a$\delta_x \rightarrow \langle x|$, podemos decir eso$\langle x| f\rangle$corresponde a alimentar al estado$f$a lo funcional$\delta_x$- es decir, evaluándolo en el punto$x$:

$$\langle x | f\rangle = \delta_x(f) = f(x)$$

Tenga en cuenta que aquí no hay equivalencia entre uno u otro, ya que$\delta_x$no corresponde en realidad a un estado, estrictamente no tiene sentido imaginar lo contrario, en el que convertimos$f$a un funcional y alimentarlo con el estado (inexistente) correspondiente a$\delta_x$. Por supuesto, si estamos dispuestos a aceptar que el "estado" que corresponde a$\delta_a$es la "función delta"$\delta(x-a)$, entonces puedes pensarlo de esa manera.

A continuación, tenga en cuenta que

$$\langle g|f\rangle =\int_{-\infty}^\infty \overline{g(x)} f(x)\ dx = \int_{-\infty}^\infty \langle g|x\rangle \langle x|f\rangle$$

por lo tanto, hacemos la identificación formal con el operador de identidad:

$$\int_{-\infty}^\infty |x\rangle\langle x| \ dx \rightarrow \mathbb{I}$$

Tenga en cuenta que tomado literalmente (por ejemplo, como una integral de Lebesgue), la expresión de la izquierda no tiene sentido por sí sola. Sin embargo, siguiendo las reglas simbólicas formales que hemos desarrollado, actúa como operador de identidad sobre el espacio de kets (y sobre el espacio de bras).

Siendo ese el caso, debemos tener eso

$$\mathbb I \circ \mathbb I = \mathbb I$$ $$\int dx\ |x\rangle\langle x| \int dy\ |y\rangle\langle y| = \int dx \int dy |x\rangle \langle y| \cdot \langle x|y\rangle = \int dx |x\rangle\langle x|$$

lo que motiva la definición (nuevamente formal)$\langle x|y\rangle \equiv \delta(x-y)$.

Finalmente, podemos realizar las mismas manipulaciones en las "funciones propias" del operador de cantidad de movimiento. Uno encuentra que (como arriba)

$$\langle k | f\rangle = \int_{-\infty}^\infty e^{-ikx} f(x) dx = \hat f(k)$$ Así que mientras$\langle x|f\rangle = f(x)$, tenemos$\langle k|f\rangle = \hat f(k)$dónde$\hat f$es la transformada de Fourier de$f$.

Insertando el operador de identidad,

$$\hat f(k) = \langle k|f\rangle = \int \langle k|x\rangle \langle x|f\rangle dx = \int \langle k|x\rangle f(x)\ dx$$

Comparando esto con lo anterior, nos motiva definir

$$\langle k|x\rangle = e^{-ikx}$$ $$\langle x|k\rangle = e^{ikx}$$