Momento angular en el marco del centro de masa

Si la pelota está suspendida de su centro de masa (CoM), entonces no gira mientras se balancea (diagrama 1). Las fuerzas sobre él actúan a través del CoM y no hay par. La pelota mantiene la misma orientación en el espacio. Esto se puede describir como un péndulo simple .

En su caso, si la bola gira mientras se balancea, entonces, como deduce, su momento angular debe estar cambiando. Esto podría suceder si la cuerda o la varilla están unidas al borde de la pelota (diagrama 2). Ahora es posible que la bola gire alrededor del punto de unión. Mientras esto sucede, la tensión en la cuerda o varilla no pasa por el CoM de la pelota. Por lo tanto, puede haber un par de torsión variable en la bola que provoque una rotación en el espacio. Este es un péndulo compuesto .

Otro arreglo es tener la barra rígida unida en dos puntos de la bola, en lugar de solo uno (diagrama 3). Ahora no es necesario que las fuerzas de la barra sobre la bola actúen a través del mismo punto, por lo que se puede crear un momento de torsión que haga girar la bola en el espacio mientras se balancea.

En otra disposición, una bola pesada podría descansar sobre el asiento de un columpio. Es imposible hacer que el columpio oscile como un péndulo sin que la bola ruede hacia adelante y hacia atrás en el asiento. Se requiere un par variable para explicar este movimiento.

Si tiene en cuenta las fuerzas y torsiones en la pelota correctamente, la fórmula$L_G=I\omega$todavía se aplica pero$\dot L_G =M_G \ne 0$.

Bien, entonces la pelota (y su centro de masa CM) gira alrededor del punto de pivote$O$con velocidad angular$\omega$y aceleración angular$\alpha$. La ecuación de movimiento se sigue de

$$mL^2\alpha =I_{\text{ball}} \alpha= -mgL\sin\theta$$

El momento angular de la punta de bola$O$es$L_{\text{ball}}=I_{\text{ball}} \omega$. Tenga en cuenta que el par es$\dot{L}=-mgL\sin\theta$de la relación anterior.

La discusión anterior estaba mirando desde el punto$O$. Ahora miremos desde el centro de masa.

Tenemos que el punto$O$gira alrededor de CM con la misma velocidad angular$\omega$y aceleración angular$\alpha$. Sin embargo,$O$es simplemente un punto con masa cero entonces$I_{\text{point } O} = 0$. La formula$L = I_{\text{point } O}\cdot\omega$es cierto para el punto$O$pero simplemente rinde$L_{\text{point } O}=0.$El par de punto$O$es igualmente cero.

El hecho confuso es que el par y el momento angular de la bola con respecto al centro de masa también son cero, pero esto se debe a que la velocidad angular y la aceleración de la bola desde CM son cero: la bola no gira en absoluto alrededor de su centro de masa. (Supongo que está hablando de un péndulo simple como en la respuesta de @sammy gerbil).

Supongo que resuelves el problema calculando el torque desde el punto de pivote, y usando eso$\tau = I\alpha$, como se explica en la respuesta del mecanodroide.

El problema de calcular el par del COM es que no es un marco de inercia. La expresion$\tau = I\alpha$(como la segunda Ley de Newton:$F = ma$) es válido para marcos inerciales.

En el caso de un objeto sin fuerzas netas aplicadas, el COM es un marco de inercia y la expresión del giro:$L = I\omega$es válido cuando se calcula a partir de él. Incluso si el COM no es un marco inercial, pero cuando la fuerza externa puede considerarse aplicada sobre él (como cuerpos en órbita bajo la fuerza gravitacional),$L = I\omega$también es válido.