¿Cuál es la diferencia entre un espacio contable y un espacio discreto?

Definición de un conjunto discreto: clic

Definición de un conjunto contable: clic

Los conjuntos finitos son tanto contables como discretos.

El conjunto

es contable y discreto.

El conjunto

es contable pero no discreta.

Prueba: sea f:$S' \rightarrow \mathbb(N)$con$f(0) = 1$y$f(1/n) = n+1$entonces f es inyectiva. De este modo$S'$es contable. Sin embargo,$S'$está cerrado y tiene un punto de acumulación $0 \in S'$. Por lo tanto, no puede ser discreto (ver definición).

Entendería discreto tal que hay una distancia mínima entre el elemento más cercano. Una red cúbica es un ejemplo de esto.

En matemáticas, la expresión contable significa que existe un mapeo de los números naturales al conjunto que describe. Esto significa que puede numerar secuencialmente cada punto. En una red cúbica, esto es ciertamente posible con un esquema apropiado. Entonces, una red cúbica (como en un cristal sólido ordinario) serviría como un espacio contable y discreto.

los numeros racionales$\mathbb Q$también son contables. Sin embargo, no lo llamaría discreto porque siempre puedes encontrar (contables) infinitos números entre dos números cualesquiera. Si hicieras un espacio-tiempo que fuera$\mathbb Q^{1,3}$en lugar de lo habitual$\mathbb R^{1,3}$sería contable pero no lo llamaría discreto.

Un espacio-tiempo discreto se utiliza en la teoría del campo de celosía de K. Wilson, donde sirve como regulador. Las coordenadas allí toman valores discretos, simplemente numere los sitios de la red con números de$\mathbb N^4$.

En la teoría cuántica de campos, el espacio-tiempo no está cuantificado. También es incontablemente infinito.

Acerca de la "forma no estándar": discretizar el espacio con una red es una ayuda de cálculo. No tiene interpretación física. ¡Es muy útil cuando se hacen simulaciones en una computadora!

Hay pensamientos de que el espacio-tiempo podría ser discreto de una manera física. Uno de ellos es la gravedad de bucle cuántico que discretiza el espacio en el orden de$10^{-34} \, \mathrm m$. Esto es tan pequeño que nadie tiene idea de lo que podría pasar allí.

"Contable" y "discreto" son conceptos separados. El conjunto de Cantor, por ejemplo, es discreto, pero no contable .

En cuanto a la discretización del espacio-tiempo, la única teoría que conozco que adopta este enfoque se conoce como gravedad cuántica de bucles . La teoría de cuerdas , si mi comprensión pasajera es correcta, no discretiza el espacio-tiempo de esta manera.