Podemos considerar que el valor de π es aproximadamente , pero π se define como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.
Sin embargo, si el diámetro es una longitud de Planck, ¿tiene sentido argumentar que la circunferencia no es un número entero? Si no es posible que los valores "fraccionarios" de la longitud de Planck sean medibles o tengan algún impacto físico en el universo, ¿es el valor de la circunferencia si el diámetro es una longitud de Planck? o es ?
Si la circunferencia fuera o , luego, a medida que los diámetros aumentan lentamente, la relación entre la circunferencia y el diámetro podría comenzar a converger en π, lo que implica que π es un límite en lugar de una constante. Sin embargo, a nuestras escalas, sería imposible distinguir entre los dos.
La implicación para mi mente es que muchas fórmulas en física dependen de π (principio de incertidumbre de Heisenberg, ley de Coulomb, etc.). ¿Pi, en estos contextos, de alguna manera "conoce" la precisión infinita de π, o la representación de π en esas ecuaciones está realmente ligada a la relación entre una circunferencia y un diámetro? Si es así, a escalas lo suficientemente pequeñas, ¿sería posible distinguir entre los dos?
Antecedentes: comencé a preguntarme sobre esto debido a artículos como el artículo de Nicolas Gisin Los lenguajes matemáticos clásicos e intuicionistas dan forma a nuestra comprensión del tiempo en la física .
es una constante matemática. Su valor no depende del sistema físico que elijamos utilizar. Si tiene algún sistema extraño en el que para su círculo la relación entre la circunferencia y el diámetro no es , entonces eso solo significa que su "círculo" no es lo que solemos considerar como un círculo. Pero eso no cambia lo que Se define como. Si realmente está pensando en un "círculo" típico, entonces a las matemáticas no les importa cuán pequeño es realmente el círculo. Si está hablando de tratar de encontrar y medir longitudes relevantes de un círculo de este tamaño, creo que puedo decir con seguridad en este punto que no podría hacer esta medición para tratar de "validar "a esta escala.
En cuanto a su preocupación por obtener "fracciones de una longitud de Planck", consulte esta publicación que analiza cómo la longitud de Planck es realmente solo un parámetro de escala útil, no un límite seguro en el tamaño donde la realidad (y las matemáticas) se rompen (que sabemos de :) ).
Un círculo es una construcción matemática que no existe en el mundo real. No existe ningún círculo de ningún tamaño que exista físicamente y se pueda medir. El valor de pi es un número irracional con un número infinito de lugares decimales, por lo que nunca tendrá suficiente precisión en ningún dispositivo de medición, ya sea que esté midiendo un plato o un círculo de Planck. Un círculo se define matemáticamente a un nivel infinitesimal de precisión que simplemente no existe en el mundo real. Como señala, a cierta escala, ni siquiera puede decir que un "círculo" físico está aquí y no allí .
Si intenta derivar pi a partir de medidas físicas, siempre se equivocará. Tu regla de Planck podría tener suficiente precisión para decir solo que pi es igual a 3, mientras que una regla de un metro podría darte pi igual a 3.14159, y los calibradores atómicos podrían darte 100 lugares decimales. Pero todos están, hasta cierto punto, equivocados: nunca llegarás a un número irracional infinitamente preciso tomando la relación de dos medidas físicas que deben tener una precisión finita. Pi es un valor teórico fijo que no cambia según las mediciones físicas. Eso sería como decir que refutaste el teorema de Pitágoras porque mediste 3 lados de un triángulo y descubriste que había cierta imprecisión. Pi no cambia debido a su incapacidad práctica para medir el radio y la circunferencia.
Hasta donde yo sé, técnicamente no existe un verdadero círculo en todo el universo. La longitud de Planck es, sobre una base técnica, la "resolución" de la realidad. Si tuviera que inferir que mirar un círculo en una pantalla podría considerarse un círculo hasta que una inspección más cercana de dicha forma mostrara la pixelación de la forma para convertirla en un polígono completamente diferente, entonces se puede aplicar el mismo concepto a las escalas. en el que la constante de Planck se vuelve relevante. Una longitud de Planck en cada una de las 3 dimensiones haría un cubo, no un círculo/esfera.
JG