¿Cuál es la definición estadística general de temperatura?

Las escalas de longitud no se tienen en cuenta correctamente en su pregunta. Cuando tiene un sistema en equilibrio local donde se puede definir un gradiente de temperatura, entonces cada "punto" en esta descripción contiene, digamos$10^{10}$moléculas y puede verse como un sistema termostático en equilibrio. Lo llamamos equilibrio "local" porque las cantidades intensivas como la temperatura y el potencial químico pueden no ser uniformes en todo el sistema, es decir, pueden variar de un "punto" a otro. Hay ecuaciones de evolución de estas cantidades mesoscópicas que se ocupan de tales situaciones de equilibrio local. Las más sencillas son las ecuaciones de Fourier (para temperatura) y Fick (para densidad de partículas), pero pueden derivarse de ecuaciones más generales con un núcleo de colisión como, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann.

Un "punto" en un sistema macroscópico no es un punto geométrico. Es un elemento de volumen que es pequeño a escala macroscópica y, sin embargo, tiene una gran cantidad de moléculas para definir la entropía y la energía interna. Su sonda de temperatura no mide su valor en un punto geométrico sino para un pequeño volumen del sistema en cuyo contacto se pone.

El equilibrio térmico local señalado en la respuesta anterior (por @gatsu) significa que$S$y$E$son uniformes en un elemento de volumen pero pueden variar de un elemento a otro dando lugar a un gradiente.

La definición de$T$en términos de$S$y$E$es aplicable a cualquier sistema macroscópico para el cual$S$y$E$están definidos.

La distribución de probabilidad de máxima entropía para un sistema de energía total esperada fija es la distribución de Boltzmann. Esto significa que la distribución de Boltzmann es apropiada para sistemas en los que conocemos la energía total pero poco más. La distribución está dada por$p(E) = Z^{-1} e^{-E/kT}$, dónde$Z$es la constante de normalización (asegurándose de que las probabilidades suman 1),$k$es la constante de Boltzmann y$T$es otro parámetro que llamamos temperatura.

Cuando habla de temperatura localizada en un lugar y tiempo específicos, en ese momento asumimos que tenemos una distribución de energía esperada fija y bien definida. Esta suposición le permite concluir que la distribución de Boltzmann es válida en todos los puntos del sistema de interés y, por lo tanto, puede definir una temperatura dependiente de la ubicación (es decir, una partícula en la ubicación$\vec{r}$tiene la probabilidad de tener energía$E$de$p(E, \vec{r}) = Z(\vec{r}) e^{-E/kT(\vec{r})}$).

Si tiene información detallada sobre las partículas en su sistema, entonces la temperatura aún puede ser un concepto útil (puede extenderse un poco agregando potenciales químicos), pero en general es probable que se pierda parte de la información a través de su uso.