¿Cuál es la conexión entre la teoría de campos conformes y el grupo de renormalización en QFT?

Como sé, el concepto fundamental de QFT es el grupo de renormalización y el flujo RG. Se define realizando 2 pasos:

  1. Introducimos el corte y luego la integración sobre campos "rápidos" ϕ ~ , dónde ϕ = ϕ 0 + ϕ ~ .

  2. Estamos haciendo reescalado: X → X / L : ϕ 0 ( X ) → Z − 1 / 2 ( L ) ϕ ( X ) .

Este procedimiento define el flujo de RG en la variedad de acciones cuasi locales: d A yo d yo = B { A yo } .

En este enfoque tenemos nociones tales como puntos críticos A ∗ , campos relevantes e irrelevantes, ecuación de Callan-Symanzik, etc., y podemos aplicarla, por ejemplo, a las transiciones de fase.

También podemos introducir el tensor tensión-energía T m v . Y, que yo sepa, si consideramos las transformaciones de escala X m → X m + ϵ X m , podemos obtener la ecuación de Callan-Symanzik, y si la teoría tiene un punto crítico: β k ( λ k ) = 0 , luego traza del tensor de energía de tensión Θ ( X ) = T m m = 0 , por lo que nuestras funciones de correlación tienen simetría en la transformación de escala.

Entonces, la pregunta es : hasta donde yo sé, en este punto de alguna manera introducen transformaciones conformes y Teoría de campos conformes. ¿Puede explicar qué lugar ocupa en la Teoría Cuántica de Campos CFT? (Me refiero a la conexión entre ellos, lo siento si la pregunta es un poco vaga o estúpida). ¿Cómo se relaciona exactamente con el enfoque RG? (Este punto es muy importante para mí). ¿Quizás algunos buenos libros?

Bueno, parece que ya se han dado cuenta: las teorías conformes de campos son un subconjunto de las teorías cuánticas de campos correspondientes al punto o puntos en los que la función beta se desvanece. Puede parecer que no es muy interesante observar el subconjunto de 'medida de fuga' en el espacio de las teorías cuánticas de campo, pero en realidad: la simetría conforme es una restricción realmente fuerte y es suficiente para resolver exactamente algunas teorías en 2d, y puede derivar resultados casi críticos puntos de la llamada teoría de la perturbación conforme. Las principales referencias son notas de conferencias de Ginsparg (arXiv) y el libro de DiFran & al.
@Learningisamess: Hay muchos buenos escritos sobre CFT que no se apegan a las comodidades de 2 dimensiones. Consulte, por ejemplo, sites.google.com/site/slavarychkov o physics.ipm.ac.ir/phd-courses/semester7/CFT-course-2013.pdf
@Learningisamess Gracias por la explicación. Corríjame por favor si he entendido mal algo: cuando analizamos la renormalización de QFT utilizando el enfoque RG, obtenemos una noción importante como puntos críticos. Luego introducimos el tensor tensión-energía y obtenemos que su traza es igual a cero en ellos. Pero esta condición nos permite introducir simetría conforme preservando la huella que desaparece y por lo tanto la Teoría de Campo Conforme en puntos críticos. ¿Tengo razón? Si es así, ¿por qué no se introdujo algún análogo del análisis RG basado en simetría conforme (no solo en puntos críticos)? ¿Esto se debe a dificultades técnicas?

Respuestas (2)

Recientemente me topé con un buen comentario sobre esto en las notas de AdS/CFT de Jared Kaplan.

  • Cualquier teoría cuántica de campos que tenga la esperanza de tener una terminación UV puede verse como una teoría efectiva en el punto del flujo RG a partir de una teoría completa UV.

  • Las teorías de campo en el punto fijo UV son conformes.

  • Por lo tanto, todas las teorías de campo 'bien definidas' son CFT o puntos en el flujo de RG de una CFT (UV) a otra CFT.

Entonces, en cierto sentido, en palabras de Kaplan:

estudiar el espacio de los CFT básicamente equivale a estudiar el espacio de todos los QFT bien definidos

Esa es una forma de ver el lugar de los CFT en los QFT generales.

La respuesta de zzz se refiere a los QFT utilizados en la física de partículas. Sin embargo, OP también menciona las transiciones de fase, por lo tanto, la teoría del campo estadístico, donde la relación entre CFT y los puntos fijos RG invariantes de escala es más sutil.

De hecho, para QFT locales donde se supone unitaridad, existen teoremas que muestran que la invariancia de escala implica invariancia conforme, véase, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/C-theorem para el teorema de A. Zamolodchikov en 2D y la discusión de la situación en 4D.

Sin embargo, se sabe que este vínculo no se extiende a las teorías generales de campos estadísticos: por ejemplo, [1] utilizan la elasticidad como contraejemplo. El vínculo entre la invariancia de escala y la invariancia conforme ha sido revisado en [2].

[1] V. Riva y J. Cardy. "Escala e invariancia conforme en la teoría de campos: un contraejemplo físico". Letras de física B 622.3-4 (2005): 339-342.

[2] Y. Nakayama. "Invarianza de escala frente a invariancia conforme". Informes de física 569 (2015): 1-93.

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