¿Cuál es la conexión entre la geometría del espacio físico y el espacio de Hilbert?

Question

¿Cuál es la conexión entre la geometría del espacio físico y el espacio de Hilbert?

Quantumorsch

En Quantum Mechanis (QM), las variables dinámicas son las coordenadas (cuantificadas) $x_j$ y su conjugado canónico $p_j = -i\partial_j$ con la relación de conmutación $[x_j,p_k]=i\delta_{jk}$ actuando como operadores en el espacio cuántico de estados.

¿Qué sucede exactamente con ese espacio de estado cuando cambiamos la geometría subyacente o la topología del espacio "físico": la variedad (espacio-tiempo) que sirve como fondo para el sistema cuántico? ¿Cómo se refleja este cambio en la geometría/topología en el espacio de Hilbert?

En la teoría cuántica de campos (QFT), los objetos dinámicos son los campos (cuantificados) $\phi (x^\mu)$ y las coordenadas $x_i$ son degradados a meras etiquetas. ¿Qué sucede en este caso? ¿Cómo altera un cambio en la geometría/topología el espacio de Fock resultante?

Soy nuevo en esta área, así que lo que necesito sería una explicación básica (para QM y QFT) sobre cómo hacer la conexión entre los dos conceptos geometría/topología del espacio físico y las propiedades resultantes del espacio de estado cuántico, si tal deseo. tiene sentido en absoluto.

una mente curiosa

Para ser precisos, con "geometría/topología del espacio físico" te refieres a la estructura del espacio de fase clásico , que a su vez es el paquete cotangente del espacio de configuración (cualquier variedad, básicamente) trazado por las coordenadas

x_{j}

$x_j$ ? ¿Y estamos haciendo alguna variante de cuantización geométrica? (En el contexto de la estructura del espacio de fase, se debe recordar el teorema de Darboux , que indica heurísticamente que no se pueden ver efectos "locales" ya que, localmente, solo hay una geometría simpléctica)

fénix87

cambiar las coordenadas no cambia la geometría/topología de una variedad, por lo que no me queda del todo claro lo que está preguntando aquí. En cuanto a si hay cambios entre espacios de configuración de diferentes dimensiones, la respuesta es que, en general, no hay diferencia debido al teorema de unicidad de von Neumann.

Quantumorsch

Con "espacio físico" solo me refiero a la variedad (espacio-tiempo) en la que coloco mi sistema cuántico. Supongo que uno lo llamaría semiclásico, ya que es QM/QFT sobre un fondo fijo. Por ejemplo, podría analizar una partícula en un espacio curvo. ¿Cómo afectaría tal cambio de geometría al espacio de estado cuántico?

jamals

@ACuriousMind Al cambiar el espacio físico, por ejemplo en el caso de un escalar, quiere decir cambiar

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ en

L \sim g_{μ ν} \partial_{μ} ϕ \partial_{ν} ϕ + \dots

$\mathcal L \sim g_{\mu\nu}\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi + \dots$ Es decir, el espacio-tiempo subyacente, o en el lenguaje de la teoría de cuerdas, el espacio objetivo.

Quantumorsch

¡Sí exactamente! El espacio-tiempo subyacente (o en el caso no relativista sólo el espacio, por ejemplo, un electrón confinado a una superficie curva). ¿Qué sucede (si ocurre) con el espacio de Hilbert/Fock? ¿Cambian los estados u operadores cuánticos?

una mente curiosa

@JamalS: Corríjame si me equivoco, pero no tenemos una teoría cuántica completa que cuantificaría en un espacio-tiempo de relatividad general completo, ¿verdad? Veo cómo la teoría de cuerdas podría responder a esto, pero esta pregunta no se trata realmente del procedimiento de cuantificación que tenemos en QM y QFT, por lo general.

una mente curiosa

OP, ¿quizás estás buscando QFT en el espacio-tiempo curvo ?

Quantumorsch

@ACuriousMind: No necesariamente tiene que ser relativista. Consideremos el caso de un electrón confinado a una superficie curva. ¿La geometría del fondo tiene alguna consecuencia para el espacio de estado?

jamals

@ACuriousMind No estaba sugiriendo que la teoría de cuerdas pueda responder esto de todos modos, solo la usé para formar la pregunta en otras palabras. Y sí, no hay manera completa.

Sofía

@quantumorsch: vea una situación simple y lo entenderá. Digamos por simplicidad que trabajamos en una dimensión. Entonces la población dentro de un espacio de Hilbert son funciones

ψ (x)

$\psi(x)$ . Ahora, pasemos a otro espacio de configuración donde

y = a x

$y = ax$ , con

a =

$a=$ alguna constante. en las funciones

ψ (x)

$\psi (x)$ tenemos que introducir la transformación

x = y / a

$x = y/a$ . En todos obtenemos las funciones

ψ (y / a)

$\psi(y/a)$ . Nuestros nuevos operadores

x

$x$ y

p

$p$ será ahora

y

$y$ y

- i ℏ \frac{\partial}{\partial y} = - i \frac{ℏ}{a} \frac{\partial}{\partial x}

$-i \hbar \frac {∂}{∂y} = -i \frac {\hbar}{a} \frac {∂}{∂x}$ . (Continúo)

Sofía

@quantumorsch Entonces, ¿qué sucede cuando calculamos, digamos

⟨ p ⟩

$\langle p \rangle$ ? Hacemos

\frac{1}{a} \int ψ^{*} (y / a) \frac{\partial ψ (y / a)}{\partial y} d y

$\frac {1}{a} \int \psi^*(y/a) \frac {∂\psi (y/a)}{∂y} \ dy$ . ¡Haz este cálculo! obtendrás al final

\frac{1}{a} \int ψ^{*} (x) \frac{\partial ψ (x)}{\partial x} d x

$\frac {1}{a}\int \psi^*(x) \frac {∂\psi (x)}{∂x} dx$ . En todo lo que obtienes

⟨ p ⟩

$\langle p \rangle$ es

a

$a$ veces menor que en la geometría anterior porque

y

$y$ es

a

$a$ veces más grande. no olvides eso

p = m v

$p = mv$ , entonces, si usas para la distancia una unidad

a

$a$ veces mayor, el valor de la velocidad es

a

$a$ veces más pequeño.

vzn

parece que esta pregunta podría interpretarse como una pregunta sobre cómo QM encaja con GR, que es un área abierta de investigación... es una pregunta abierta durante décadas cómo reconciliar los dos.

Sofía

@vzn, el interrogador no preguntó gran filosofía , quería que se le diera una noción simple de lo que sucede. Le dí.

vzn

lol QM engranado con GR no es filosofía ... es una pregunta empírica profunda en el corazón de la física aplicada que afecta la cosmología, el big bang, la expansión del universo, los agujeros negros, etc. p.d. es casi una pregunta que incluso Einstein puede tener trabajado en algunos...

usuario46925

una pregunta similar pero sobre el espacio GR: La base física de nuestras suposiciones sobre el espacio físico . Si bien los objetos parecen diferentes, su relación es similar y los 2 temas pueden compartir sus enfoques sobre los conectores.

Respuestas (2)

¿Cuál es la conexión entre la geometría del espacio físico y el espacio de Hilbert?

Para ser precisos, con "geometría/topología del espacio físico" te refieres a la estructura del espacio de fase clásico , que a su vez es el paquete cotangente del espacio de configuración (cualquier variedad, básicamente) trazado por las coordenadas $x_j$ ? ¿Y estamos haciendo alguna variante de cuantización geométrica? (En el contexto de la estructura del espacio de fase, se debe recordar el teorema de Darboux , que indica heurísticamente que no se pueden ver efectos "locales" ya que, localmente, solo hay una geometría simpléctica)
cambiar las coordenadas no cambia la geometría/topología de una variedad, por lo que no me queda del todo claro lo que está preguntando aquí. En cuanto a si hay cambios entre espacios de configuración de diferentes dimensiones, la respuesta es que, en general, no hay diferencia debido al teorema de unicidad de von Neumann.
Con "espacio físico" solo me refiero a la variedad (espacio-tiempo) en la que coloco mi sistema cuántico. Supongo que uno lo llamaría semiclásico, ya que es QM/QFT sobre un fondo fijo. Por ejemplo, podría analizar una partícula en un espacio curvo. ¿Cómo afectaría tal cambio de geometría al espacio de estado cuántico?
@ACuriousMind Al cambiar el espacio físico, por ejemplo en el caso de un escalar, quiere decir cambiar $g_{\mu\nu}$ en $\mathcal L \sim g_{\mu\nu}\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi + \dots$ Es decir, el espacio-tiempo subyacente, o en el lenguaje de la teoría de cuerdas, el espacio objetivo.
¡Sí exactamente! El espacio-tiempo subyacente (o en el caso no relativista sólo el espacio, por ejemplo, un electrón confinado a una superficie curva). ¿Qué sucede (si ocurre) con el espacio de Hilbert/Fock? ¿Cambian los estados u operadores cuánticos?
@JamalS: Corríjame si me equivoco, pero no tenemos una teoría cuántica completa que cuantificaría en un espacio-tiempo de relatividad general completo, ¿verdad? Veo cómo la teoría de cuerdas podría responder a esto, pero esta pregunta no se trata realmente del procedimiento de cuantificación que tenemos en QM y QFT, por lo general.
OP, ¿quizás estás buscando QFT en el espacio-tiempo curvo ?
@ACuriousMind: No necesariamente tiene que ser relativista. Consideremos el caso de un electrón confinado a una superficie curva. ¿La geometría del fondo tiene alguna consecuencia para el espacio de estado?
@ACuriousMind No estaba sugiriendo que la teoría de cuerdas pueda responder esto de todos modos, solo la usé para formar la pregunta en otras palabras. Y sí, no hay manera completa.
@quantumorsch: vea una situación simple y lo entenderá. Digamos por simplicidad que trabajamos en una dimensión. Entonces la población dentro de un espacio de Hilbert son funciones $\psi(x)$ . Ahora, pasemos a otro espacio de configuración donde $y = ax$ , con $a=$ alguna constante. en las funciones $\psi (x)$ tenemos que introducir la transformación $x = y/a$ . En todos obtenemos las funciones $\psi(y/a)$ . Nuestros nuevos operadores $x$ y $p$ será ahora $y$ y $-i \hbar \frac {∂}{∂y} = -i \frac {\hbar}{a} \frac {∂}{∂x}$ . (Continúo)
@quantumorsch Entonces, ¿qué sucede cuando calculamos, digamos $\langle p \rangle$ ? Hacemos $\frac {1}{a} \int \psi^*(y/a) \frac {∂\psi (y/a)}{∂y} \ dy$ . ¡Haz este cálculo! obtendrás al final $\frac {1}{a}\int \psi^*(x) \frac {∂\psi (x)}{∂x} dx$ . En todo lo que obtienes $\langle p \rangle$ es $a$ veces menor que en la geometría anterior porque $y$ es $a$ veces más grande. no olvides eso $p = mv$ , entonces, si usas para la distancia una unidad $a$ veces mayor, el valor de la velocidad es $a$ veces más pequeño.
parece que esta pregunta podría interpretarse como una pregunta sobre cómo QM encaja con GR, que es un área abierta de investigación... es una pregunta abierta durante décadas cómo reconciliar los dos.
@vzn, el interrogador no preguntó gran filosofía , quería que se le diera una noción simple de lo que sucede. Le dí.
lol QM engranado con GR no es filosofía ... es una pregunta empírica profunda en el corazón de la física aplicada que afecta la cosmología, el big bang, la expansión del universo, los agujeros negros, etc. p.d. es casi una pregunta que incluso Einstein puede tener trabajado en algunos...
una pregunta similar pero sobre el espacio GR: La base física de nuestras suposiciones sobre el espacio físico . Si bien los objetos parecen diferentes, su relación es similar y los 2 temas pueden compartir sus enfoques sobre los conectores.

una mente curiosa · Answer 1

OP comenta como un ejemplo de lo que trata la pregunta:

Consideremos el caso de un electrón confinado a una superficie curva. ¿La geometría del fondo tiene alguna consecuencia para el espacio de estado?

Se puede dar una respuesta simple para QM ordinaria: una partícula (escalar, es decir, spin-0) que se mueve en una dimensión tiene un espacio de estado $L^2(\mathbb{R})$ , una partícula en tres dimensiones tiene espacio de estado $L^2(\mathbb{R}^3)$ . El espacio de estado de una partícula que se mueve en una subvariedad $\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^3$ , por ejemplo, una partícula que se mueve sobre cualquier superficie lisa, es entonces por analogía simplemente $L^2(\mathcal{M})$ es decir, las funciones cuya integral cuadrada sobre $\mathcal{M}$ existe

Tenga en cuenta que Fourier (es decir, relacionar las representaciones de posición y momento) se transforma en variedades que no son $\mathbb{R}^n$ son algo complicados, cf. esta publicación de math.SE.

¡Está bien, gracias! Entonces, para mantenerlo simple: un electrón confinado a 1D (cable delgado) se describe exactamente por el mismo espacio de estado para cada posible flexión del cable (ya que las funciones en él siguen siendo las mismas), ¿ningún estado cuántico cambia en absoluto? ¿Ningún cambio en los niveles de energía ni nada por el estilo?
@quantumorsch: Creo que ese es el caso: una dimensión es una dimensión, y QM ordinario no tiene forma de "ver" la curvatura.
¡Eso es exactamente lo que quería saber! El espacio de Hilbert no puede ver la curvatura/geometría/topología de la variedad subyacente (espacio de fondo). ¡Me parece bastante notable que todos esos sistemas en geometrías arbitrariamente complicadas (pero con la misma dimensión) son exactamente iguales y no hay consecuencias para los operadores y estados cuánticos en absoluto!
@quantumorsch: el espacio-tiempo (o espacio) no es realmente la "variedad subyacente" del espacio de Hilbert de un sistema cuántico. El espacio de Hilbert de la versión cuántica de un sistema clásico se obtiene del espacio de fase clásico del sistema, no del espacio-tiempo en el que vive.
Seguro gracias. Por supuesto, la función de onda vive en el espacio de configuración/fase, no en el espacio, pero el sistema mismo sí. Así que todavía me parece bastante confuso que un cambio en la geometría de ese espacio no afecte los estados cuánticos...
@quantumorsch: No es tan fácil, vea el enlace a QFT en el espacio-tiempo curvo que comenté sobre su pregunta. No tenemos una teoría cuántica completa viviendo en un espacio-tiempo GR completo. Además, que los espacios de estado sean los mismos no significa que los estados sean los mismos. Los estados de una partícula confinada a una línea doblada no son los mismos estados que los de una partícula en una línea recta, sus espacios de estado son naturalmente isomorfos ya que ambos son $L^2(\mathbb{R})$ , no son literalmente lo mismo .
¡Oh, entonces cambia los estados cuánticos! Eso es lo que ingenuamente esperaría. Acepté tu respuesta, pero desafortunadamente todavía no estoy satisfecho...

qmecanico · Answer 2

Comentarios a la pregunta (v3):

Los posibles estados cuánticos dependen de la topología del espacio-tiempo. Por ejemplo, el impulso en la (quinta) dirección adicional de una teoría de Kaluza-Klein de 5 dimensiones es una variable cuantificada/discreta si la (quinta) dimensión adicional es un círculo compacto. $S^1$ , pero una variable continua si la (quinta) dimensión adicional es una línea real no compacta $\mathbb{R}$ .
Dado un sistema clásico con ciertos datos geométricos, digamos, un sistema hamiltoniano definido en una variedad simpléctica $(M,\omega)$ , es un área de investigación enorme en física tratar de diseñar una receta general de cómo cuantificar la teoría y determinar el espacio de Hilbert correspondiente de estados físicos y observables. Véase, por ejemplo, el tema de la cuantización geométrica, cf. referencias 1-3.

Referencias:

¿Cuál es la conexión entre la geometría del espacio físico y el espacio de Hilbert?

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