¿Cuál es la conexión exacta entre el espacio bosónico de Fock y el oscilador armónico cuántico?

Referencia: Fetter y Walecka, Teoría cuántica de muchos sistemas de partículas , cap. 1

El hamiltoniano para un SHO es:

dónde$\{a^+_i, a_i\}$son los operadores de creación y aniquilación para el$i^\textrm{th}$autoestado (modo impulso). El espacio Fock$\mathbf{F}$consta de estados de la forma:

que se obtienen actuando repetidamente sobre el vacío$\vert 0 \rangle$por los operadores de escalera:

La interpretación de$\Psi$es como el estado que contiene$i_k$cuantos de los$k^\textrm{th}$estado propio creado por la aplicación de$(a^+_k)^{i_k}$en el vacío.

El estado anterior no se normaliza hasta que se multiplica por un factor de la forma$\prod_{k=0}^N \frac{1}{\sqrt{k+1}}$. Si sus excitaciones son bosónicas, ha terminado, porque el conmutador de los operadores de escalera$[a^+_i,a_j] = \delta_{ij}$se desvanece por$i\ne j$. Sin embargo, si las estadísticas de sus partículas no son bosónicas (fermiónicas o anyónicas), entonces importa el orden en el que actúa sobre el vacío con los operadores de escalera.

Por supuesto, para construir un espacio Fock$\mathbf{F}$no es necesario especificar un hamiltoniano. Solo se necesitan los operadores de escalera con sus relaciones de conmutación/anticonmutación. En los problemas habituales de espacio plano, los operadores de escalera corresponden a nuestros modos de Fourier habituales.$a^+_k \Rightarrow \exp ^{i k x}$. Para espaciotiempos curvos, este procedimiento puede generalizarse definiendo nuestros operadores de escalera para que correspondan a soluciones adecuadas de frecuencia positiva (negativa) de un laplaciano en ese espacio. Para más detalles, véase Wald, QFT en espacios-tiempos curvos . Ahora, dado cualquier hamiltoniano de la forma:

con un término cinético$T$para una partícula en$x_k$y un término potencial por parejas$V(x_k,x_l)$, se puede escribir el hamiltoniano cuántico en términos de elementos de matriz de estos operadores:

dónde$|i\rangle$es el estado con un solo cuanto excitado correspondiente a la acción de$a^+_i$en el vacío. (Para detalles, pasos, ver Fetter & Walecka, Ch. 1).

Espero que esto ayude a resolver algunas de sus dudas. Siendo como eres de matemáticas, seguramente habrá diferencias semánticas entre mi idioma y el tuyo, así que si tienes alguna pregunta, no dudes en preguntar.

Analicemos primero el oscilador armónico. En realidad, es un sistema muy especial (uno y único de su tipo en todo el QM), que en cierto sentido ya está cuantificado en segundo lugar (este punto se aclarará más adelante).

Primero, una charla general sobre HO (salte este párrafo si ya los conoce de adentro hacia afuera). Es posible expresar su hamiltoniano como$H = \hbar \omega(N + 1/2)$dónde$N = a^{\dagger} a$y$a$es una combinación lineal de momento y operador de posición). Usando las relaciones de conmutación$[a, a^{\dagger}] = 1$uno obtiene la base$\{ \left| n \right >$|$n \in {\mathbb N} \}$con$N \left | n \right > = n$. Entonces obtenemos una interpretación conveniente de que esta base es, de hecho, el número de partículas en el sistema, cada una con energía.$\hbar \omega$y que el vacío$\left | 0 \right >$tiene energía$\hbar \omega \over 2$.

Ahora, la construcción anterior era en realidad la misma que la tuya para$X = \{0\}$. La construcción de Fock (también conocida como segunda cuantización) puede entenderse como la introducción de partículas,$S^i$correspondiente a$i$partículas (entonces HO es una segunda cuantización de una partícula con un grado de libertad). En cualquier caso, obtenemos operadores dependientes de la posición$a(x), a^{\dagger}(x), N(x)$y$H(x)$que son para cada$x \in X$isomorfos a los operadores HO discutidos previamente y también obtienen base$\left | n(x) \right >$(aunque en realidad no estoy seguro de que esto sea base en el sentido estricto de la palabra; estos asuntos no se discuten mucho en la teoría de campos por parte de los físicos). El hamiltoniano total$H$será entonces una integral$H = \int H(x) dx$. El estado genérico en este sistema parece un montón de partículas dispersas por todas partes y, de hecho, esta es una descripción de partículas de un campo bosónico libre.

Supongamos, como lo haces tú, que$K$es el espacio de estados de un solo bosón. Entonces el espacio de estados de un sistema combinado de dos bosones no es$K\otimes K$como sería si los dos bosones fueran distinguibles, es el subespacio simétrico el que está denotando como$S^2$. Su suma sobre todo$i$, que denotas$S$, es entonces un espacio de HIlbert (espacio de estado) de un nuevo sistema cuyos estados contienen los estados de un sistema de un bosón, un sistema de dos bosones, un sistema de tres bosones, etc. excepto no un número infinito de bosones. (que no está incluido en el espacio$S$). y tu espacio$S$incluye superposiciones, por ejemplo si$v_1$es un elemento de$S$(un estado de un bosón) y si$v_3 \in S^3$(un estado de un sistema de tres bosones) entonces$0.707 v_1 - -.707 v_3$es un estado que tiene un cincuenta por ciento. probabilidad de ser un bosón, si se mide el número de partículas, y un cincuenta por ciento. probabilidad de encontrar tres bosones. Ese es el significado físico del espacio Fock. Es el espacio de estados sobre el que actúan los operadores de un campo cuántico.

Como ya señaló Eric Zaslow, si$H$es el hamiltoniano de la ho$K$, entonces por definición,$H\otimes I + I \otimes H$es el hamiltoniano en$S^2$, etc en cada$S^i$. Luego uno los suma a todos para obtener un hamiltoniano en la suma directa$S$.

A menos que este hamiltoniano sea perturbado, el número de partículas es constante, obviamente, ya que conserva cada subespacio$S^i$de$S$. Así que no habrá creación ni aniquilación de pares de partículas. Si este campo entra en interacción con una partícula extraña, el hamiltoniano se verá perturbado, por supuesto.

Está conectado con la segunda cuantificación de la siguiente manera: si tiene un ho clásico y lo cuantifica, obtiene$K$. Si ahora cuantificas en segundo lugar$K$, usted obtiene$S$que puede ser considerado como un campo cuántico. Sir James Jeans demostró, antes de la revolución cuántica, que el campo electromagnético clásico podía obtenerse de la mecánica clásica ho como un límite de más y más ho clásicas que no interactúan entre sí, y este procedimiento de segunda cuantización es un análogo cuántico. No es el mismo procedimiento que empezar con un campo clásico y luego cuantificarlo. Pero es notable que se pueda obtener la misma respuesta de cualquier manera, como observó JEans en el caso clásico. Es decir, comenzaste con un sistema cuántico de una partícula y pasaste al espacio de Fock y obtuviste la teoría cuántica de campos correspondiente a ese sistema. Pero podríamos haber comenzado con un campo clásico y cuantizado, y obtener el campo cuántico de esa manera.