¿Cuál es el valor de la medida del segmento MNMNMN?

si reflexionamos$H$al otro lado de$AB$y$AC$obtenemos dos nuevos puntos$F$y$G$.

Desde$BE$y$CD$son la bisectriz del ángulo para$\angle DEH$y$\angle HDE$vemos$D,E,F$y$G$son colineales. Ahora$MN$es la linea media del triangulo$HGF$con respecto a$FG$que largo es

Si sabe que el ortocentro del triángulo principal es el incentro del triángulo pedal, entonces el trabajo puede ser más fácil. De lo contrario, como mencionaste, siempre podemos mostrarlo usando el teorema del ángulo inscrito y el teorema del punto medio, pero no es tan rápido como la otra respuesta.

Me referiré a los ángulos de$\triangle ABC$como$\angle A, \angle B$y$\angle C$.

Vemos cuadrilátero$BDOH$es cíclico.

$\angle OHD = \angle OBD = 90^\circ - \angle A$

$\angle DHM = 90^\circ - \angle OHD - \angle BHM$

$= 90^\circ - (90^\circ - \angle A) - (90^\circ - \angle B) = \angle A + \angle B - 90^\circ$

$= 180^0 - \angle C - 90^\circ = 90^\circ - \angle C$

también dado$AMHN$es cíclico,

$\angle HMN = \angle HAN = 90^\circ - \angle C$

en triángulo rectángulo$\triangle DMH$,$\angle HMN = \angle DHM$entonces$P$debe ser el circuncentro del triángulo.

Del mismo modo, dejaré que ustedes demuestren que$Q$es el circuncentro de$\triangle ENH$.

Una vez que muestres eso,$P$y$Q$son puntos medios de$DH$y$EH$respectivamente, se sigue que

$PQ = \frac{DE}{2}, MP = \frac{DH}{2}, NQ = \frac{EH}{2}$

agregándolos,$MN = 13$