¿Explicación física de alguna propiedad de la ecuación del calor? [cerrado]

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¿Explicación física de alguna propiedad de la ecuación del calor? [cerrado]

lanse7pty

Cuando calculé la ecuación del calor, descubrí que el calor bruto no cambia, es lo mismo que en nuestro mundo real. Pero, como sé, la ecuación del calor se encuentra de acuerdo con la forma de conducción del calor. ¿Por qué el modo de propagación del calor contiene la conservación del calor?

A continuación se muestra mi cálculo, supongo $\Omega$ es variedad compacta sin límite, esto significa $\partial\Omega=\varnothing$

{\begin{aligned} {tu}_{t} = Δ tu en Ω \times (0, T] \\ tu (X, 0) = {tu}_{0} \end{aligned}

$\left\{ \begin{aligned} & u_t=\Delta u \text{ in $\Omega\times (0,T]$} \\ & u(x,0)=u_0 \end{aligned} \right.$ Entonces el bruto de calor es

{GRAMO}_{h mi a t} = \int_{Ω} tu d V

$G_{heat}=\int_\Omega u dV$ Entonces muestra

G_{h e a t}

$G_{heat}$ no cambies el tiempo a solas

\begin{aligned} \frac{d {GRAMO}_{h mi a t}}{d t} & = \int_{Ω} \frac{d tu}{d t} d V \\ = \int_{Ω} Δ tu d V \\ = \int_{\partial Ω} \frac{\partial tu}{\partial \vec{norte}} d V \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{dG_{heat}}{dt} &=\int_\Omega \frac{du}{dt}dV \\ &=\int_\Omega\Delta u dV \\ &=\int_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial\overrightarrow n}dV \\ &=0 \end{align}$ Entonces,

G_{h e a t}

$G_{heat}$ no cambie el tiempo a solas. Significa conservación del calor. ¿Por qué el modo de propagación del calor contiene conservación del calor? Quiero una explicación física, ¿cómo el comportamiento local decide el comportamiento global?

Solo soy un maestro de las matemáticas y mi inglés es deficiente, por lo que no sé si describo correctamente mi pregunta. De lo contrario, agradezco cualquier edición o consejo.

usuario83548

No entiendo tu última identidad, ¿no debería ser así?

\int_{Ω} Δ u d V = \int_{\partial Ω} \nabla u . \vec{n} d S

$\int_\Omega\Delta u dV=\int_{\partial\Omega} \nabla u . \vec{n} dS$ ?

una mente curiosa

Mirar el artículo de Wikipedia le habría dicho que "La ecuación del calor se deriva de la ley de Fourier y la conservación de la energía" . Entonces... ¿estás preguntando por qué una ecuación derivada de la conservación de la energía conserva la energía?

usuario83548

@ACuriousMind pero puede tener fuentes de calor y sumideros. ¿No están éstos representados en las condiciones de contorno? por ejemplo, si tiene un punto caliente en el centro (podría recordar esto mal y no pude resolverlo haciendo una búsqueda rápida)

una mente curiosa

@brucesmitherson: Tenga en cuenta que la pregunta asume

Ω

$\Omega$ es una "variedad compacta sin límite", por lo que

\partial Ω

$\partial \Omega$ está vacío, por lo que todas las fuentes y sumideros se equilibran dentro

Ω

$\Omega$ , ya que no puede tener un flujo neto fuera de él.

Respuestas (1)

¿Explicación física de alguna propiedad de la ecuación del calor? [cerrado]

No entiendo tu última identidad, ¿no debería ser así? $\int_\Omega\Delta u dV=\int_{\partial\Omega} \nabla u . \vec{n} dS$ ?
Mirar el artículo de Wikipedia le habría dicho que "La ecuación del calor se deriva de la ley de Fourier y la conservación de la energía" . Entonces... ¿estás preguntando por qué una ecuación derivada de la conservación de la energía conserva la energía?
@ACuriousMind pero puede tener fuentes de calor y sumideros. ¿No están éstos representados en las condiciones de contorno? por ejemplo, si tiene un punto caliente en el centro (podría recordar esto mal y no pude resolverlo haciendo una búsqueda rápida)
@brucesmitherson: Tenga en cuenta que la pregunta asume $\Omega$ es una "variedad compacta sin límite", por lo que $\partial \Omega$ está vacío, por lo que todas las fuentes y sumideros se equilibran dentro $\Omega$ , ya que no puede tener un flujo neto fuera de él.

usuario1476176 · Answer 1

Nota rápida sobre la terminología: en termodinámica, el calor está asociado con las transferencias de energía ; la propiedad relacionada asociada con el estado de un sistema se llama energía. Un mejor nombre para el "calor bruto" sería la "energía total" del sistema.

Como han señalado los comentaristas, la ecuación del calor se deriva de la Primera Ley de la Termodinámica. Una forma más directa de probar que la energía total se conserva es aplicar la Primera Ley de la Termodinámica al sistema definido por la variedad $\Omega$ :

\frac{d}{d t} {tu}_{Ω} = \dot{q} - PAG \frac{d}{d t} V + {\dot{W}}_{otro}

$\frac{\text{d}}{\text{d}t} U_\Omega = \dot{Q} - P \frac{\text{d}}{\text{d}t} V + \dot{W}_\text{other}$ Dónde

$\frac{\text{d}}{\text{d}t} U_\Omega$ es la tasa de cambio en la energía interna total del sistema
$\dot{Q}$ es la tasa de transferencia de calor a través del límite, que es cero ya que no hay límite
$-P\frac{\text{d}}{\text{d}t}V$ es el trabajo de contorno asociado con la expansión/contracción del sistema
$\dot{W}$ es la velocidad a la que el trabajo cruza la frontera debido a otros efectos (p. ej., electricidad), que nuevamente es cero porque no hay frontera

Si el volumen de $\Omega$ es constante, entonces el trabajo de contorno es cero y, por lo tanto, la energía interna total del sistema es constante.

Para volver a su pregunta original, si aplica la Primera Ley de la Termodinámica a un sistema donde solo ocurre la conducción, sustituya la Ley de la Conducción de Fourier y suponga también que $u$ está relacionado linealmente con $T$ , entonces el resultado toma la forma de la ecuación de calor. Esta es la razón por la cual la ecuación del calor se llama "la ecuación del calor". Como se mencionó en los comentarios, la ecuación del calor conserva energía porque las ecuaciones de las que se deriva conservan energía .

Si prefiere una línea de razonamiento más física, la ecuación del calor solo representa los efectos de la conducción. En la conducción, la energía fluye de alta temperatura a baja temperatura, pero el total se conserva. La conducción conserva energía, por lo que se deduce que la ecuación del calor conserva energía.

Muchas gracias. ¿Hay algún libro de termodinámica que sea interesante y adecuado para estudiantes de matemáticas?

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lanse7pty

usuario83548

una mente curiosa

usuario83548

una mente curiosa

Respuestas (1)

usuario1476176

lanse7pty

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