¿Cuál es el significado físico de |f′′(ξ)|≤4(f(b)−f(a))(b−a)2|f″(ξ)|≤4(f(b)−f( a))(b−a)2|f''(\xi )|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(ba)^{2}} donde f(t) f(t)f(t) es la posición en función del tiempo?

Question

¿Cuál es el significado físico de |f′′(ξ)|≤4(f(b)−f(a))(b−a)2|f″(ξ)|≤4(f(b)−f( a))(b−a)2|f''(\xi )|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(ba)^{2}} donde f(t) f(t)f(t) es la posición en función del tiempo?

láser

Aquí está el problema completo:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Pude probar la expresión dada; pero la parte de interpretación me está dando un poco de problemas. Aquí está mi interpretación:

La aceleración media en $(a,b)$ , es dado por: $\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^{2}}$

Así, por la definición del promedio, tiene que haber algún $\xi$ en $(a,b)$ CALLE

| F^{″} (ξ) | \leq \frac{F (b) - F (a)}{(b - a)^{2}} \leq \frac{4 (F (b) - F (a))}{(b - a)^{2}}

$|f''(\xi )|\leq\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^{2}} \leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$

asumiendo $f(b) \geq f(a)$

Sin embargo, solo estoy arrojando arbitrariamente ese 4 en el numerador y no puedo adjuntarlo a ninguna interpretación física. Tal vez necesito hacer uso del hecho de que $f'(a)=f'(b)=0$ ?

¡Cualquier idea sería apreciada!

Flavina

¿Qué temas has estado estudiando últimamente? Si proporciona algunos antecedentes sobre lo que sabe, podría ser más fácil ayudarlo a encontrar una respuesta.

Trimok

Curioso. En primer lugar, la aceleración media es

\frac{f^{'} (b) - f^{'} (a)}{b - a} = 0

$\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}=0$ .Porque

f^{'} (b) = f^{'} (a)

$f'(b) = f'(a)$ , entonces, suponiendo

f^{″} (x)

$f''(x)$ continua, para cualquier

ϵ > 0

$\epsilon >0$ , existe un punto

ξ

$\xi$ en

(a, b)

$(a,b)$ , tal que

| f^{″} (ξ) | < ϵ

$|f''(\xi)|<\epsilon$ (si no fuera el caso, tomando por ejemplo

f^{″} (a) > ϵ

$f''(a)>\epsilon$ , por continuidad, tenemos

f^{″} (x) > ϵ

$f''(x) > \epsilon$ para todos

x

$x$ , entonces no podemos tener

f^{'} (b) = f^{'} (a)

$f'(b) = f'(a)$ ). Entonces el límite

\frac{4 (f (b) - f (a))}{(b - a)^{2}}

$\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$ , asumiendo

f (b) > f (a)

$f(b) > f(a)$ , es un caso particular de

ϵ

$\epsilon$ (y para

f (a) > f (b)

$f(a) > f(b)$ , la ecuacion

| f^{″} (ξ) | < \frac{4 (f (b) - f (a))}{(b - a)^{2}}

$|f''(\xi)|<\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$ Es falso)

Respuestas (2)

¿Cuál es el significado físico de |f′′(ξ)|≤4(f(b)−f(a))(b−a)2|f″(ξ)|≤4(f(b)−f( a))(b−a)2|f''(\xi )|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(ba)^{2}} donde f(t) f(t)f(t) es la posición en función del tiempo?

¿Qué temas has estado estudiando últimamente? Si proporciona algunos antecedentes sobre lo que sabe, podría ser más fácil ayudarlo a encontrar una respuesta.
Curioso. En primer lugar, la aceleración media es $\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}=0$ .Porque $f'(b) = f'(a)$ , entonces, suponiendo $f''(x)$ continua, para cualquier $\epsilon >0$ , existe un punto $\xi$ en $(a,b)$ , tal que $|f''(\xi)|<\epsilon$ (si no fuera el caso, tomando por ejemplo $f''(a)>\epsilon$ , por continuidad, tenemos $f''(x) > \epsilon$ para todos $x$ , entonces no podemos tener $f'(b) = f'(a)$ ). Entonces el límite $\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$ , asumiendo $f(b) > f(a)$ , es un caso particular de $\epsilon$ (y para $f(a) > f(b)$ , la ecuacion $|f''(\xi)|<\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$ Es falso)

qmecanico · Answer 1

I) Tenga en cuenta que la desigualdad original de OP

| F^{″} (ξ) | \leq 4 \frac{F (b) - F (a)}{(b - a)^{2}}

$|f''(\xi )|~\leq~4\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^{2}}$ es manifiestamente violado

0 \leq | F^{″} (ξ) | \leq 4 \frac{F (b) - F (a)}{(b - a)^{2}} < 0

$0~\leq~|f''(\xi )|~\leq~4\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^{2}}~<~0$ en todas partes si

f (b) < f (a)

$f(b)<f(a)$ , como lo menciona Trimok en un comentario. Suponemos de ahora en adelante que debería haber un valor absoluto en el rhs. de la desigualdad original de OP.

II) Como ha demostrado Trimok en el mismo comentario y como ha demostrado Frederic Brünner en su respuesta, existe un instante $\xi\in]a,b[$ donde la aceleración instantánea

F^{″} (ξ) = \frac{F^{'} (b) - F^{'} (a)}{b - a} = 0

$f''(\xi)~=~\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}~=~0$ es igual a la aceleración media, es decir, cero, cf. El teorema de Rolle . Este resultado es incluso más fuerte que la desigualdad (corregida) de OP.

III) En esta respuesta nos gustaría probar una desigualdad opuesta (4):

Debe existir un instante $c\in]a,b[$ donde la velocidad instantanea
$\begin{matrix} (1) & F^{'} (C) = \frac{F (b) - F (a)}{b - a} \end{matrix}$ $\tag{1} f'(c)~=~\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ y la velocidad media es la misma, cf. el teorema del valor medio .
Por simetría podemos suponer que el instante $c\leq \frac{a+b}{2}$ es menor que el tiempo medio, por lo que
$\begin{matrix} (2) & C - a \leq \frac{b - a}{2} . \end{matrix}$ $\tag{2} c-a~\leq~ \frac{b-a}{2}.$ (El otro caso $c\geq \frac{a+b}{2}$ se puede tratar de manera similar usando la desigualdad $b-c\leq\frac{b-a}{2}$ en cambio.)
De nuevo, existe un instante $\xi\in]a,c[$ donde la aceleración instantánea
$\begin{matrix} (3) & F^{″} (ξ) = \frac{F^{'} (C) - F^{'} (a)}{C - a} \overset{(1)}{=} \frac{F (b) - F (a)}{(C - a) (b - a)} \end{matrix}$ $\tag{3} f''(\xi)~=~\frac{f'(c)-f'(a)}{c-a}~\stackrel{(1)}{=}~\frac{f(b)-f(a)}{(c-a)(b-a)}$ es igual a la aceleración media. (En el otro caso, mire el intervalo ]c,b[ en su lugar).

Poniendo ecs. (2) y (3) juntos encontramos una desigualdad (4):

\begin{matrix} (4) & \exists ξ \in] a, b [: | F^{″} (ξ) | \geq 2 \frac{| F (b) - F (a) |}{(b - a)^{2}} . \end{matrix}

$\tag{4} \exists \xi\in]a,b[:~~ |f''(\xi)|~\geq~ 2 \frac{|f(b)-f(a)|}{(b-a)^2}.$

@Trimok: Sí, tienes razón. Buen punto. Desigualdad original de OP $0\leq|f''(\xi )|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}<0$ se viola manifiestamente en todas partes si $f(b)<f(a)$ .

Frederic Brunner · Answer 2

La condición $f'(a)=f'(b)=0$ , lo que significa que la velocidad se anula tanto al principio como al final del intervalo de tiempo, nos dice que la partícula está en reposo en estos puntos de tiempo. Como consecuencia, tiene que haber tanto aceleración como desaceleración mientras la partícula está en movimiento. En otras palabras, la aceleración tiene que ser tanto positiva como negativa. Dado que nuestra función es diferenciable dos veces, asumimos que no hay saltos en la aceleración, es decir, tiene que moverse suavemente entre valores positivos y negativos, y por lo tanto tiene que ser cero en algún punto ( $\xi$ ). Debido a que la aceleración promedio en el lado derecho de la desigualdad desaparece debido a las condiciones iniciales y finales de la velocidad, la desigualdad se convierte en una igualdad ( $0=0$ ).

Para concluir: si una partícula comienza con cierta velocidad (cero en nuestro caso) y termina con la misma (también cero), su aceleración tiene que ser tanto positiva como negativa durante el intervalo de tiempo intermedio.

¿Cuál es el significado físico de |f′′(ξ)|≤4(f(b)−f(a))(b−a)2|f″(ξ)|≤4(f(b)−f( a))(b−a)2|f''(\xi )|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(ba)^{2}} donde f(t) f(t)f(t) es la posición en función del tiempo?

láser

Flavina

Trimok

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Trimok

qmecanico

Frederic Brunner

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