¿Cómo calculo la velocidad instantánea de un objeto en una curva? [cerrado]

$$\Delta E=W_{nc}$$

En cualquier punto de la curva, considerando un desplazamiento infinitesimal$dx$en el eje x (sistema de coordenadas xy cartesiano derecho), del cálculo, tenemos:

$$dy=f'(x)dx\ ,\ ds=\sqrt{1+f'(x)^2}dx$$

Dónde$ds$es el desplazamiento infinitesimal de la curva.

El trabajo realizado por la fricción (la única fuerza no conservativa aquí) durante el desplazamiento$ds$es:

$$W_{nc}=-\mu ds$$

Dónde$\mu$es el coeficiente de fricción entre la bola y la superficie de la curva.

El cambio de energía Mecánica es, entonces:

$$\Delta E=\frac12 m((v+dv)^2-v^2)-mgdh$$

Dónde$m$es la masa de la pelota y$dh$es el cambio infinitesimal (positivo) en la altura. Si asumimos:

$$\forall x;f'(x)\lt0$$

Lo que asegura que la pelota nunca se saldrá de la curva, podemos decir:

$$dh=-dy=-f'(x)dx$$

Entonces obtenemos:

$$\Delta E=\frac12 md(v^2)+mgf'(x)dx=-\mu \sqrt{1+f'(x)^2}dx=W_{nc}$$

$$d(v^2)=-2\left(\frac{\mu}{m} \sqrt{1+f'(x)^2}+gf'(x)\right)dx$$

---

$$v(x)=\sqrt{-2\int_{x \text{ of start point}}^{x \text{ of end point}}\left(\frac{\mu}{m} \sqrt{1+f'(x)^2}+gf'(x)\right)dx}$$

Lo anterior es una expresión explícita de$v(x)$.

En tu caso,$f(x)=e^{-ax}$, así que conecte los parámetros. Y entregue la expresión anterior a Computer (por ejemplo, Mathematica) para que la resuelva numéricamente.

Hecho.

Definitivamente no querrás resolver este problema usando mecánicas lagrangianas o hamiltonianas. Dado que conoce el coeficiente de fricción estática, puede resolver las aceleraciones en las direcciones x e y, etc.

Lo importante aquí es la geometría del problema. Nos interesa la dirección tangente a la curva$y = e^{-ax}$, y la dirección perpendicular a él. La dirección tangente a la curva en el punto$x$tiene la pendiente$f'(x)$, dónde$f'(x)$es la derivada de$f(x)$con respecto a$x$. La dirección normal a la curva en el punto$x$tiene la pendiente$-1/f'(x)$. Ahora procedemos con la 2da Ley de Newton:

$$F_x = N\sin \theta - f_k \cos \theta,$$ $$F_y = -mg+N\cos \theta + f_k \sin \theta,$$ dónde $f_k$es la fuerza de fricción cinética (dada por $N\mu_k$), y $N$es la fuerza normal. Podemos resolver la fuerza normal inmediatamente sumando las fuerzas a lo largo de la dirección perpendicular a la curva para encontrar que $N = mg\cos \theta$. Ahora todo lo que queda es encontrar lo que $\theta$es. yo definí $\theta$arriba para ser el ángulo que subtiende la fuerza de gravedad y la dirección antiparalela a la dirección de la fuerza Normal. Una vez que hagas un poco más de geometría, podrás encontrar expresiones para $\sin \theta$y $\cos \theta$en términos de x. Ahora, al sustituir estas expresiones en las ecuaciones de la segunda ley, esencialmente obtienes: $$m\ddot{x} = F(x),$$ $$m \ddot{y} = G(x).$$ La clave para resolver la primera ecuación es reconocer que $\ddot{x} = \dot{x}(d\dot{x}/dx)$. Usando ese hecho, puede resolver la velocidad en la dirección x como una función de x simplemente separando la ecuación diferencial e integrando. Para la segunda ecuación, debe invertir x en y y usar el mismo truco, es decir, encontrar $H(y)$tal que $m\ddot{y} = G(x) = H(y)$. Luego escribimos la doble derivada temporal en y de manera análoga a lo que escribimos para x y procedemos como de costumbre.

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