¿Cuál es el origen de los operadores cuánticos para ppp y EEE en QM estándar?

Antes de la mecánica cuántica, estábamos familiarizados con las partículas de momento$\mathbf{p}$y ondas planas $\propto \exp i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega_\mathbf{k} t\right)$con$\mathbf{k}$el vector de onda y$\omega_\mathbf{k}$a$\mathbf{k}$dependiente de la frecuencia angular, no lineal. (La fórmula que relaciona$\omega$a$\mathbf{k}$se llama relación de dispersión .) Aunque la radiación electromagnética se consideraba como una onda, se sabía que tenía cantidad de movimiento. Después de que Planck planteó la hipótesis de que la radiación electromagnética tiene cuantos de energía$E=hf=\hbar\omega$para algunas constantes$h>0,\,\hbar=\tfrac{h}{2\pi}$, de Broglie reorganizó para dar$\lambda = \tfrac{c}{f} = \frac{h}{p}$, ya que la velocidad-$c$la materia en la relatividad especial satisface$p:=\left|\mathbf{p}\right|=\tfrac{E}{c}$. De hecho, se suponía que esta condición se mantenía incluso para materia masiva; de hecho, los primeros experimentos de dualidad de ondas de partículas respaldaron esto. Pero se dio cuenta del número de onda $k=\tfrac{2\pi}{\lambda}=\tfrac{p}{\hbar}$es quizás más útil, ya que podemos generalizar inmediatamente a una hipótesis vectorial$\mathbf{p}=\hbar\mathbf{k}$. Asociando esto con$E=\hbar\omega$, vemos que la mecánica cuántica puede lograr los valores propios correctos de los componentes del momento y la energía de una onda plana usando los operadores$\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\boldsymbol{\nabla},\,E=i\hbar\partial_t$. Además, este enfoque también relaciona las relaciones energía-momento con las relaciones de dispersión. Por ejemplo,$E=\tfrac{p^2}{2m}$se convierte$\omega=\tfrac{\hbar k^2}{2m}$, mientras$E^2=c^2p^2+m_0^2c^4$se convierte$\omega^2=c^2\left(k^2+m^2\right)$con$m:=\tfrac{m_0 c}{\hbar}$.