Elementos de la matriz del operador Momentum en la representación de posición

Question

Elementos de la matriz del operador Momentum en la representación de posición

Nacho Figueruelo

aquí está mi pregunta:

Estoy tratando de encontrar los elementos de la matriz del operador de momento. $\hat{P}$ en la base de la posición $|x\rangle$ :

⟨ X | \hat{PAG} | X^{'} ⟩ := ⟨ X | \hat{PAG} \int d pag | pag ⟩ ⟨ pag | X^{'} ⟩ = ⟨ X | \hat{PAG} \int d pag | pag ⟩ \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- i pag X^{'}}

$\langle x|\hat{P}|x'\rangle := \langle x|\hat{P}\int dp|p\rangle \langle p|x'\rangle=\langle x|\hat{P}\int dp|p\rangle \frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-ipx'}$

dónde $\hbar=1$ . ahora actuando $\hat{P}$ en el ket $|p\rangle$ y multiplicando por el sostén $\langle x|$ :

\begin{matrix} (1) & ⟨ X | \hat{PAG} | X^{'} ⟩ := \frac{1}{2 π} \int d pag pag {mi}^{i pag (X - X^{'})} \end{matrix}

$\tag{1}\langle x|\hat{P}|x'\rangle :=\frac{1}{2\pi}\int dp\space p e^{ip(x-x')}$

por lo que según algunos textos (y recordando las lecciones de QM) los elementos de la matriz deberían ser:

\begin{matrix} (2) & ⟨ X | \hat{PAG} | X^{'} ⟩ := - i \frac{d}{d X} d (X - X^{'}) \end{matrix}

$\tag{2}\langle x|\hat{P}|x'\rangle:=-i\frac{d}{dx}\delta(x-x')$

entonces, si no estoy equivocado, esto debería significar que (1) es igual a (2). ¿Son correctos estos cálculos? ¿Cómo es la integral igual a la expresión (2)? ¿Alguien conoce algún libro donde desarrollen formalmente el operador de cantidad de movimiento en la base x?

Respuestas (2)

Elementos de la matriz del operador Momentum en la representación de posición

Kindaichi joven · Answer 1

Estoy procediendo de la misma manera que tú:

\hat{pag} | X^{'} ⟩ = \int \hat{pag} | pag ⟩ ⟨ pag | X^{'} ⟩ d pag = \int pag | pag ⟩ \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- i pag X^{'}} d pag

$\hat{p}|x'\rangle=\int\hat{p}|p\rangle\langle p|x'\rangle dp=\int p|p\rangle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ipx'}dp$

⟨ X | \hat{pag} | X^{'} ⟩ = \int pag ⟨ X | pag ⟩ \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- i pag X^{'}} d pag = \frac{1}{2 π} \int {mi}^{i pag (X - X^{'})} pag d pag

$\langle x|\hat{p}|x'\rangle=\int p\langle x|p\rangle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ipx'}dp=\frac{1}{2\pi}\int e^{ip(x-x')}pdp$

⟨ X | \hat{pag} | X^{'} ⟩ = - i \frac{d}{d X} (\frac{1}{2 π} \int {mi}^{i pag (X - X^{'})} d pag)

$\langle x|\hat{p}|x'\rangle=-i\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\pi}\int e^{ip(x-x')}dp\right)$ Aquí usaremos la identidad

d (X^{'} - X) = d (X - X^{'}) = \frac{1}{2 π} \int d k {mi}^{i k (X^{'} - X)}

$\delta(x'-x)=\delta(x-x')=\frac{1}{2\pi}\int dk \ e^{ik(x'-x)}$ que llevan a

⟨ X | \hat{pag} | X^{'} ⟩ = - i \frac{d}{d X} d (X - X^{'})

$\langle x|\hat{p}|x'\rangle=-i\frac{d}{dx}\delta(x-x')$

Creo que el libro de R. Shankar tiene buenas pruebas.

Aquí $\hbar$ se toma como 1.

Felipe · Answer 2

Este es un resultado bien conocido, aunque no creo que generalmente se presente en la mayoría de los textos de mecánica cuántica de nivel introductorio como Griffiths o Shankar. Para responder tu pregunta:

Sí, $(1)$ es igual a $(2)$ , aunque debe saber que los problemas del tipo "revisar mi trabajo" generalmente se consideran fuera de tema en este sitio.
Es igual en el sentido de que dos distribuciones son iguales. En otras palabras, es igual en el mismo sentido que
$d (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} d pag {mi}^{- i pag X},$ $\delta(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \, \text{d}p \,\,e^{-i px},$
Este tema generalmente se cubre en el caso más general de representaciones de observables con valores propios continuos en muchos libros, incluida la Mecánica cuántica moderna de Sakurai (Sección 1.6: Posición, momento y traducción , una sección que tiene cientos de preguntas relacionadas en este sitio ) y los Principios de Mecánica Cuántica de Dirac (Capítulo III: Representaciones ). Pero tenga en cuenta, como advierte Sakurai, que " las matemáticas rigurosas de un espacio vectorial atravesado por elementos propios que exhiben un espectro continuo es bastante traicionera " .

Elementos de la matriz del operador Momentum en la representación de posición

Nacho Figueruelo

Respuestas (2)

Kindaichi joven

Felipe

Producto interno de los elementos propios de posición y momento

Derivación del operador de posición en QM

Teoría cuántica de campos para el aficionado superdotado: problema 2.4

Notación Bra Ket y Derivado [duplicado]

¿Existe una función que sea integrable al cuadrado y que no tienda a cero en el infinito pero que pertenezca al dominio del operador de cantidad de movimiento?

Expectativa de impulso en el estado ligado

Operador de posición en el espacio de momento

Elementos matriciales del operador de momento en representación de posición

Derivando la expectativa de [X^,H^][X^,H^][\hat X,\hat H]

Acción del operador de cantidad de movimiento sobre la función de onda en el espacio de cantidad de movimiento