Calculando ⟨p|x⟩⟨p|x⟩\langle p|x\rangle y ⟨x|p^|x′⟩⟨x|p^|x′⟩\langle x|\hat{p}|x'\ rangle: ¿uno resulta del otro?

Al mostrar que

⟨ X | pag ^ | X ′ ⟩ = − i ℏ d d ( X − X ′ ) d X
He visto muchas soluciones que hacen algo similar a ¿ Puedo reemplazar el valor propio del operador p con la representación del espacio de posición del operador p? que utiliza el hecho de que
pag ⟨ pag | X ⟩ = − i ℏ ∂ X ⟨ pag | X ⟩
para obtener el resultado deseado. Esto me lleva a pensar que al calcular ⟨ X | pag ^ | X ′ ⟩ necesitamos saber ⟨ pag | X ⟩ (es decir, la ecuación diferencial que satisface).

Sin embargo, de la misma manera, al calcular ⟨ pag | X ⟩ He visto soluciones usando el hecho de que ⟨ X | pag ^ | X ′ ⟩ = − i ℏ ∂ X d ( X − X ′ ) como:

pag ⟨ pag | X ⟩ = ⟨ X | pag ^ | pag ⟩ = ∫ d y ⟨ X | pag ^ | y ⟩ ⟨ y | pag ⟩ = i ℏ ∫ d y d d ( X − y ) d y ⟨ y | pag ⟩ = − i ℏ d ⟨ X | pag ⟩ d X .

Mi pregunta entonces es, ¿qué viene primero? No podemos usar uno para calcular el segundo y al mismo tiempo usar el segundo para calcular el primero. ¿Alguien puede indicar una forma rigurosa de calcular ambos sin tal interferencia?

Respuestas (2)

Si desea calcular cualquiera de las cantidades, debe definir qué hace el operador de impulso. Sin una definición para el operador de cantidad de movimiento, no puedes calcular nada, por supuesto.

Tus dos identidades son solo dos formas diferentes de definir la acción. La forma más básica de definir la acción de un operador es definir la forma de sus elementos de matriz en alguna base conocida. Si tenemos una base de estados propios de posición, esto se vería así ⟨ X ′ | q ^ | X ⟩ ≡ q ( X ′ , X ) . Eso nos dice que el operador q ^ actuando en un estado propio de posición | X ⟩ se superpone tiene una superposición con el estado propio de posición | X ′ ⟩ igual a q ( X ′ , X ) . Su primera identidad es este tipo de declaración, por lo que es una forma de definir el operador de impulso.

Otra forma de definir un operador es declarar sus valores propios y vectores propios. Para el operador de cantidad de movimiento, los valores propios son todos números reales pag , y para definir los vectores propios damos sus coeficientes en la base de posición, ⟨ pag | X ⟩ = ψ pag ( X ) . Para el operador de cantidad de movimiento definimos ψ pag ( X ) ≡ mi − i pag X / ℏ , que es equivalente a su segunda identidad.

Estas dos formas diferentes de definir la acción del operador de cantidad de movimiento son equivalentes; cada uno puede usarse para derivar el otro. También hay otras formas de definir la acción del operador de cantidad de movimiento, y todas las buenas formas son equivalentes a estas dos.

¿Pueden derivarse ambos sólo de la relación de conmutación? [ X ^ i , pag ^ j ] = i ℏ d i j ?
Sí. Y la relación de conmutación se puede derivar de definir el operador de cantidad de movimiento como el generador de traslaciones.

No creo que tengas que preocuparte por ninguno de los dos.

Tenga en cuenta que i ℏ < X | X ′ > Se puede escribir como < X | [ pag ^ , X ^ ] | X ′ > y luego expandir esto. Sabe que el lado izquierdo y el lado derecho involucran el elemento de matriz que desea.

Todo lo que necesita completar es una propiedad de la función delta de Dirac enumerada (por ejemplo) en Wikipedia, que se relaciona d ( X ) / X a la derivada de la propia función delta...

Tienes razón. Haciendo eso obtenemos: ∫ d X ′ ( X − X ′ ) ⟨ X | pag ^ | X ′ ⟩ ⟨ X ′ | X ″ ⟩ = i ℏ ⟨ X | X ″ ⟩ o ∫ d X ′ ( X − X ′ ) ⟨ X | pag ^ | X ′ ⟩ d ( X ′ − X ″ ) = i ℏ d ( X − X ″ ) o ( X − X ″ ) ⟨ X | pag ^ | X ′ ⟩ = i ℏ d ( X − X ″ ) y usando d ′ ( X − X ″ ) = − d ( X − X ″ ) / ( X − X ″ ) obtenemos el resultado.
¡¡Excelente!! Buen trabajo :-) excepto que no es necesario tener la integración con respecto a x' (tampoco creo que el lado izquierdo de la primera línea necesite <x|x'>...)
Calculando ⟨p|x⟩⟨p|x⟩\langle p|x\rangle y ⟨x|p^|x′⟩⟨x|p^|x′⟩\langle x|\hat{p}|x'\ rangle: ¿uno resulta del otro?
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