Usando la derivada covariante para encontrar la fuerza entre los monopolos magnéticos de 't Hooft-Polyakov

Question

Usando la derivada covariante para encontrar la fuerza entre los monopolos magnéticos de 't Hooft-Polyakov

Física
teoría de calibre
monopolos-magnéticos
teoría cuántica de campos
teoría topológica del campo

usuario7757

Estoy leyendo este artículo de investigación escrito por NS Manton sobre la Fuerza entre los monopolos 't Hooft-Polyakov . Tengo una duda en la ecuación 3.6 y 3.7. Suponemos que el campo de norma para un monopolo que acelera lentamente es $A_0 = \epsilon^2 a_i t A_1$ , dónde $\epsilon^2$ es un infinitesimal. También, escribimos $\partial_0 \phi = -\epsilon^2 a_i t \partial_i \phi$ . Usando esto escribe $D_0\phi=-\epsilon^2 a_i t D_i \phi$ , dónde $D_i\phi=\partial_i \phi + [A_i,\phi]$ . ¿No está mal el signo del segundo término?

En segundo lugar, dice diferenciación wrt t nos da, $D^0 D_0 \phi = \epsilon^2 a_i D_i \phi$ . no debería ser $\partial^0D_0 \phi$ ? Debido a que estamos tomando la derivada real frente a t en lugar de la derivada covariante, deberíamos obtener algunos términos adicionales, ¿se cancelan? ¿Cómo desaparece el signo menos?

¿La derivada covariante se comporta como una derivada normal en cualquier caso?

usuario7757

DE ACUERDO. Obtuve cómo desaparece el signo menos, él tomó la firma métrica como -+++ aparentemente

qmecanico

Me gusta cómo el nombre de señor de 't Hooft se convierte en dos Hooft en la pregunta (v1).

Respuestas (1)

Usando la derivada covariante para encontrar la fuerza entre los monopolos magnéticos de 't Hooft-Polyakov

DE ACUERDO. Obtuve cómo desaparece el signo menos, él tomó la firma métrica como -+++ aparentemente
Me gusta cómo el nombre de señor de 't Hooft se convierte en dos Hooft en la pregunta (v1).

Ron Maimón · Answer 1

Ron Maimón

El signo de la parte de calibre de la derivada covariante es una convención, puedes elegirlo como quieras, solo define el signo de A. Este signo no tiene nada que ver con la convención métrica, mayormente + o mayormente -. Es arbitrario en cualquier convención.

La segunda parte es simplemente derivar ambos lados de la ecuación anterior para $D_0\phi$ , hay en en el lado derecho. entonces es $\partial_0 (t D_0 \phi)$ , ya que A_0 es infinitesimal y da una corrección de mayor orden, y se queda con la primera parte de esta, donde se deriva t con respecto a t, y se ignora la segunda parte, ya que las derivadas temporales de $\phi$ son pequeños si se supone que el monopolo está estacionario en t=0 y acelera lentamente.

usuario7757

Oye, muchas gracias por la respuesta, pero en la definición de derivada covariante ha tomado un signo más, por lo que su derivada covariante es

D_{μ} ϕ = \partial_{μ} ϕ + [A_{μ}, ϕ]

$D_\mu \phi = \partial_\mu \phi+ [A_\mu,\phi]$ . Ver ecuación 2.3. En cuanto a mi comentario, quise decir que he resuelto el problema de la señal para

D^{0} D_{0}

$D^0 D_0$ donde desaparece el signo negativo porque estamos tomando los índices contravariantes.

Ron Maimón

@ramanujan_dirac: No pude seguir qué señal te estaba dando problemas. No puedo acceder al periódico (es de pago). Es lamentable, porque es un clásico, y no lo he leído.

usuario7757

Mantón define

D_{μ} ϕ = \partial_{μ} ϕ + e [A_{μ}, ϕ]

$D_\mu \phi = \partial_\mu \phi + e[A_\mu,\phi]$ , y

A_{0} = ϵ^{2} a_{i} t A_{i}

$A_0=\epsilon^2 a_i t A_i$ , y

\partial_{0} ϕ = ϵ^{2} a_{i} t \partial_{i} ϕ

$\partial_0 \phi = \epsilon^2 a_i t \partial_i \phi$ , entonces como es

D_{0} ϕ = - ϵ^{2} a_{i} t D_{i} ϕ

$D_0 \phi = -\epsilon^2 a_i t D_i \phi$ ? ¿Hay alguna resolución a esta duda o hay algún error tipográfico en el artículo? (Este es el primer artículo de investigación que leo, así que no sé qué tan común es tener un error tipográfico).

Ron Maimón

@ramanujan_dirac: En los documentos clásicos, es muy raro que haya errores tipográficos que afecten sustancialmente el resultado, pero hay errores tipográficos menores ocasionales (tal vez 1 eqn en 500). Pero para entenderlo, puedes fingir que está lleno de errores tipográficos y que lo estás revisando. Un artículo de investigación deja pasos de razonamiento que son obvios para el autor y el árbitro para el lector, aquí, va y viene entre la derivada covariante temporal y la derivada ordinaria temporal. Este es un término de orden superior en la aceleración, ya que

A_{0}

$A_0$ es infinitesimal para infinitesimal a.

usuario7757

aparentemente hay una falla en ese documento, no he podido entenderlo por completo (está relacionado con la suavidad de las funciones elípticas que requieren algunas funciones para los campos de aceleración y calibre, algo así) que se señaló aquí: prd.aps . org/abstract/PRD/v18/i2/p542_1

usuario7757

Incluso si esto se omite, el documento no tiene ningún sentido físico para mí, y no he podido entender la esencia física del argumento, se basa completamente en el hecho de que debería existir alguna función global definida en un manera particular, que debe reducirse a las versiones de estas funciones cada una definida independientemente en cada uno de los monopolos (o anti-monopolos).

Ron Maimón

@ramanujan_dirac: Seguramente no hay falla, simplemente no lo entendiste. Es común que las personas no entiendan los artículos y se inventen "defectos" que no existen (aunque, como dije, no lo he leído, sé que este artículo es uno de varios clásicos que llevaron a BPS y S -dualidad). La fuerza entre los monopolos ha sido calculada y recalculada una y otra vez, el artículo es clásico y es importante en la teoría de la dualidad S de N=4 gauge. Simplemente aún no se ha acostumbrado a leer documentos, requiere reproducir la mayoría de los resultados usted mismo.

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qmecanico

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Ron Maimón

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