¿Las espirales de las velas solares son logarítmicas? ¿Se puede demostrar esto analíticamente o solo mediante análisis dimensional?

Aquí hay varias preguntas y respuestas sobre la espiral hacia o desde el Sol utilizando velas solares inclinadas aproximadamente 45 grados para convertir el impulso radial entrante de la luz solar en un empuje tangencial.

Se habla de que estas espirales pueden estar cerca de las espirales logarítmicas dependiendo de las suposiciones específicas.

Pregunta:

  1. ¿Son las espirales de las velas solares de naturaleza logarítmica o al menos cercanas a ella?
  2. ¿Se puede demostrar esto analíticamente?
  3. ¿Se puede demostrar esto solo mediante análisis dimensional?

Respuestas (1)

La respuesta tiene que ser 'no necesariamente', porque, en general, a medida que avanza, puede ajustar libremente el ángulo de la vela solar y, por lo tanto, la trayectoria. Además, no es necesario que la trayectoria se encuentre en un solo plano ya que la vela puede producir fuerzas fuera del plano. Ayer

publiqué un análisis en los comentarios de una vela solar débil y una órbita espiral poco profunda y concluí que la órbita era una espiral logarítmica. Pero creo que el análisis se extiende sin importar cuán empinada sea la espiral.

Un primer punto a tener en cuenta es que tanto la fuerza gravitacional como la fuerza del viento solar decaen a medida que 1 / r 2 y así mantener la misma relación independientemente de la distancia radial. Si asumimos que la vela está colocada en un ángulo fijo con respecto a la dirección radial, entonces no solo la relación de las dos fuerzas es constante, sino que sus direcciones respectivas también son independientes del radio. Esto ya sugiere un ángulo constante o una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica es 'autosimilar' y se ve igual en cualquier escala de radio, r , es decir, sus características escalan con r .

La única pregunta que queda es si las fuerzas (es decir, aceleración, a ) y la velocidad, v , cambian juntos de manera proporcional a los cambios del radio. La cantidad v 2 / a tiene unidades de distancia y por lo tanto también debe escalar como r . Desde a escalas como 1 / r 2 , resulta que v escalas como 1 / ( r ) . El radio de curvatura de la curva viene dado por la velocidad al cuadrado dividida por la componente perpendicular de la aceleración. De ello se deduce que el radio de curvatura es proporcional a r, lo que confirma aún más la espiral logarítmica.

Habiendo concluido que existen órbitas espirales exponenciales, debemos notar que están definidas por un solo parámetro. En ese sentido son similares a las órbitas circulares. Son un caso especial en el que, presumiblemente, debe comenzar con exactamente la velocidad correcta en la posición correcta para continuar en la espiral deseada. Las condiciones iniciales arbitrarias generalmente no producirán una órbita espiral logarítmica más de lo que podrían producir una órbita exactamente circular.

¡Sí, esto es interesante! Entonces, para un cuerpo central dado y un plano dado, hay un número infinito de soluciones de órbitas circulares que se distinguen por el radio (o la velocidad o la energía) y alguna fase absoluta con respecto a t = 0 . Me pregunto si para el mismo cuerpo central y plano dados y para una vela solar de actitud fija respecto al origen, hay un número igualmente infinito de espirales logarítmicas que se distinguen por, digamos, una verdadera anomalía en 1 AU y la misma fase absoluta. (en otras palabras, ¿ a dónde va este agujero de conejo? )
@uhoh, ahora estoy un poco desconcertado. Para una órbita circular en el sentido de las agujas del reloj en un plano dado, es suficiente especificar su posición 2D en un instante dado. Para una espiral logarítmica en el sentido de las agujas del reloj, parece necesario especificar tanto la posición 2D como la curvatura de la espiral. Tal vez la equivalencia sea con la espiral que tiene la vela ajustada para perder energía orbital más rápidamente. Eso eliminaría un grado de libertad.
Hmm... tal vez "para el mismo cuerpo central y plano dados y para una vela solar de actitud fija respecto al origen" está incompleto ya que carece de "y una relación dada de área/masa"; ¿Eso lo haría? Estoy respondiendo rápidamente sin pensar con cuidado. A medida que la relación área/masa disminuye, la espiral se vuelve más densa y se acerca a un círculo, por así decirlo.
@uhoh Sí, me lo perdí. La curvatura (estrechez de la espiral) dependerá del área/masa, así como de la dirección hacia la que apunta la vela.
¿Las espirales de las velas solares son logarítmicas? ¿Se puede demostrar esto analíticamente o solo mediante análisis dimensional?
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