¿Todos los tipos de relojes deben coincidir en el tiempo transcurrido desde que la nave espacial comenzó a acelerar?

Esto depende exactamente de lo que estés preguntando. Los relojes a diferentes alturas en una nave espacial acelerada funcionan a diferentes velocidades. Esto se analiza en la pregunta ¿ Qué reloj es el más rápido dentro de un cuerpo en aceleración? .

Todos los relojes se ven afectados por la diferencia horaria de la misma manera, por lo que no importa si el reloj es atómico, un reloj de luz, un reloj mecánico o lo que sea, todos los relojes a la misma altura en la nave espacial en aceleración funcionarán al mismo tiempo. tasa. Sin embargo, un reloj de luz es tradicionalmente bastante grande, es decir, la luz viaja una gran distancia y luego se refleja, y medimos el tiempo por la duración del viaje de ida y vuelta del haz de luz. Si el haz de luz viaja hacia arriba en la nave espacial en aceleración, pasará a través de regiones de dilatación de tiempo mediblemente diferentes y el tiempo que mide diferirá del tiempo medido por un reloj más compacto.

Entonces, si el reloj de luz es pequeño, o si está dispuesto de modo que los rayos de luz permanezcan a la misma altura mientras viajan, entonces el reloj de luz medirá el mismo tiempo que todos los demás relojes. Si el reloj de luz es grande y los rayos de luz viajan verticalmente, habrá una diferencia.

La respuesta depende de la geodésica de un fotón en el marco acelerado. El marco acelerado es la cuña Rindler que se ilustra a continuación. La métrica en ese marco es

$$ds^2~=~dT^2~-~dX^2~-~dy^2~+~dz^2$$ con una transformación a la $t,~x$coordenadas del espacio-tiempo plano de Minkowski como $$T~=~x~sinh(at),~X~=~x~cosh(at),$$ para $a$la aceleración El elemento de línea para la trayectoria de un observador acelerado en el espacio-tiempo de Minkowski es entonces $$ds^2~=~a^2x^2dt^2~-~dx^2~-~dy^2~-~dz^2.$$ Veamos las geodésicas en la cuña de Rindler, que podemos encontrar mediante una variación de la métrica anterior. Esto lleva a $$\frac{d^2t}{ds^2}~+~2x^{-1}\frac{dx}{ds}\frac{dt}{ds}~=~0$$ $$\frac{d^2x}{ds^2}~+~x\left(\frac{dt}{ds}\right)^2~=~0,$$ y tenemos $d^2y/ds^2~=~d^2z/ds^2~=~0$De estos dos últimos tenemos $y~=~y_0$ $z~=~z_0$como constantes. La primera ecuación geodésica da $dt/ds~=~kx^{-2}$, para $k$una constante. La ecuación diferencial para el $x$la coordenada es entonces $$\frac{dx}{ds}~=~\sqrt{s~+~kx^2~-~y_0^2~-~z_0^2}$$ Una solución para el $x$la posición de las coordenadas es $$x~=~\sqrt{s^2~+~2s\sqrt{k^2~-~x_0^2(y_0^2~+~z_0^2)}~-~s^2(y_0^2~+~z_0^2)},$$ que es un arco semicular. Esto demuestra que las geodésicas y las geodésicas nulas son arcos semiculares que emergen y entran perpendiculares al horizonte de Rindler.

Con algo más de geometría, uno puede mirar este arco y encontrar su radio. Si uno está en un marco acelerado, un reloj de fotones que mide el tiempo debería tener el rebote de fotones entre espejos espaciados a una distancia mucho menor que el radio de este arco. De esa manera se puede satisfacer el criterio de un marco local adecuado. A medida que la distancia entre los espejos aumenta y se acerca a la escala de estos arcos perpendiculares, el tiempo del reloj de fotones se desvía del tiempo adecuado. Podemos pensar en estos arcos semicirculares como bucles de fotones virtuales, donde el observador acelerado es testigo del vacío como la producción y destrucción de fotones a través del horizonte de Rindler. El radio de estos bucles estará en el orden de la distancia$d~=~c^2/a$el horizonte es del observador. Para los espejos en el reloj de fotones una distancia$d_{cl}~<<~d$esto significa que el observador está midiendo el tiempo en intervalos en el corte UV en fotones producidos en la radiación Unruh.