¿Crítica sobre varias formas de pensar sobre la transformación de inversión de tiempo en la ecuación de Schrödinger?

Question

¿Crítica sobre varias formas de pensar sobre la transformación de inversión de tiempo en la ecuación de Schrödinger?

Física
cpt-simetría
evolución del tiempo
mecánica cuántica
ecuación de Schroedinger
tiempo-inversión-simetría

ann marie coeur

Defina cómo actúa la simetría de inversión de tiempo en la ecuación de Schrödinger $i \frac{\partial}{\partial t} |\Psi{}(t) \rangle = H(t) |\Psi{}(t) \rangle.$ (para la forma general: que puede ser relativista como la teoría de Dirac o no relativista).

A continuación, presento varias formas de pensar sobre la transformación de inversión de tiempo en la ecuación de Schrödinger.

¿Podría presentar su crítica o crítica sobre cuál tiene sentido? ¿Cuál más es la forma correcta de hacer la transformación de inversión de tiempo en la ecuación de Schrödinger?

1.

La ecuación de Schroedinger que gobierna el sistema cuántico (independientemente de si es relativista o no) dice:

i \frac{\partial}{\partial t} | Ψ (t) ⟩ = H (t) | Ψ (t) ⟩ .

$i \frac{\partial}{\partial t} |\Psi{}(t) \rangle = H(t) |\Psi{}(t) \rangle.$ Es fácil comprobar que la ecuación de Schroedinger es inversión del tiempo

T

$T$ invariante si

(1). $H(t)$ no tiene una dependencia del tiempo explícita o una inversión del tiempo simétrica, entonces $H(-t)=H(t)=H$ .

(2). Como no queremos hacer $t=0$ se convierte en un punto fijo especial, también requerimos la simetría traslacional del tiempo $H(t)=H(t+\Delta)$ durante algún intervalo de tiempo arbitrario $\Delta$ .

(3) Bajo transformación de intervalo de tiempo, si pensamos desde la perspectiva de asignar el valor de un vector de estado $|\Psi{}(-t) \rangle$ (o su función de onda proyectada) en $-t$ a un nuevo vector de estado $|\Psi'{}( t) \rangle$ en $t$ siguiendo el enfoque de mecánica clásica defendido por @Richard Myers https://physics.stackexchange.com/a/633205/42982 , obtenemos

\begin{matrix} (1) & | Ψ (t) ⟩ \overset{T}{\to} | Ψ^{'} (t) ⟩ = | Ψ (- t) ⟩ . \end{matrix}

$|\Psi{}( t) \rangle \overset{T}{\to} |\Psi'{}( t) \rangle = |\Psi{}(-t) \rangle. \tag{1}$

Podemos hacer una transformación de inversión de tiempo en toda la ecuación actuando sobre el vector de estado (un rayo) en el espacio de Hilbert,

T i \frac{\partial}{\partial t} | Ψ (t) ⟩ = T H (t) | Ψ (t) ⟩

$T i \frac{\partial}{\partial t} |\Psi{}(t) \rangle = T H(t) |\Psi{}(t) \rangle$

= T i T^{- 1} T \frac{\partial}{\partial t} | Ψ (t) ⟩ = T H (t) T^{- 1} T | Ψ (t) ⟩

$=T i T^{-1} T\frac{\partial}{\partial t} |\Psi{}(t) \rangle = T H(t) T^{-1} T|\Psi{}(t) \rangle$

= T i T^{- 1} T \underset{Δ \to 0}{límite} \frac{| Ψ (t + Δ) ⟩ - | Ψ (t) ⟩}{Δ} = H (- t) | Ψ (- t) ⟩

$=T i T^{-1} T\lim_{\Delta \to 0}\frac{ |\Psi{}(t+\Delta) \rangle- |\Psi{}(t) \rangle}{\Delta} = H(-t) |\Psi{}(-t) \rangle$ Luego adoptamos y reemplazamos la ecuación (1):

= T i T^{- 1} \underset{Δ \to 0}{límite} \frac{| Ψ (- t - Δ) ⟩ - | Ψ (- t) ⟩}{Δ} = H (- t) | Ψ (- t) ⟩

$=Ti T^{-1} \lim_{\Delta \to 0}\frac{ |\Psi{}(-t-\Delta) \rangle- |\Psi{}(-t) \rangle}{\Delta} = H(-t) |\Psi{}(-t) \rangle$

= T i T^{- 1} (-) \frac{\partial}{\partial \tilde{t}} | Ψ (\tilde{t}) ⟩ |_{\tilde{t} = - t} = H (- t) | Ψ (- t) ⟩ .

$=T i T^{-1} (-)\frac{\partial}{\partial \tilde t} |\Psi{}(\tilde t) \rangle \Big \vert_{\tilde t = -t} = H(-t) |\Psi{}(-t) \rangle.$

Como muestro, la ecuación de Schroedinger es inversión del tiempo $T$ invariante que requiere que (1) $H(-t)=H(t)$ y 2)

T i T^{- 1} = - i

$T i T^{-1} =-i$ lo cual es el caso de que la inversión del tiempo es una simetría antiuntiaria y antilineal.

Lo anterior tiene un problema porque solo hacemos mapas. $|\Psi{}( t) \rangle \overset{T}{\to} |\Psi'{}( t) \rangle = |\Psi{}(-t) \rangle$ pero realmente no haga una conjugación compleja en la función de onda (de valor complejo).

También podemos quejarnos de que la función de onda con $e^{-iEt}$ la evolución del tiempo se asigna a $e^{+iEt}=e^{-i(-E)t}$ evolución del tiempo. Esto parece mapear $E>0$ a $E<0$ ¿¿¡¡estado!!??

2.

Otra forma de ver el problema tal vez sea esta. Esto sigue el enfoque del capítulo 4.4 del libro Sakurai Modern QM: No actuamos $T$ en la ecuación de Schroedinger. Pero encuentra directamente una solución de inversión de tiempo. $|\Psi'{}(t) \rangle$ satisface la ecuación de Schroedinger. Si definimos el vector de estado a expandir en el espacio proyectado $|x \rangle$ base:

| Ψ^{'} (t) ⟩ = \sum_{X} | X ⟩ ⟨ X | Ψ^{'} (t) ⟩ .

$|\Psi'{}(t) \rangle = \sum_x |x \rangle \langle x |\Psi'{}(t) \rangle.$ En este caso

Θ | x ⟩ = | x ⟩

$\Theta | x \rangle= |x \rangle$ , entonces

| Ψ^{'} (t) ⟩ = \sum_{X} | X ⟩ Ψ^{*} (X, - t) = \sum_{X} | X ⟩ {tu}^{*} (X) {mi}^{- i mi t} .

$|\Psi'{}(t) \rangle = \sum_x |x \rangle \Psi^*{}(x,-t) = \sum_x |x \rangle u^*(x) e^{- i E t}.$ Entonces podemos probar la versión de función de onda de la ecuación de Schrödinger:

i \frac{\partial}{\partial t} Ψ (X, t) = H (X, - i \frac{\partial}{\partial X}, t) Ψ (X, t) .

$i \frac{\partial}{\partial t} \Psi{}(x,t) = H(x, -i\frac{\partial}{\partial x}, t) \Psi{}(x,t) .$ Definimos

Ψ^{'} (x, t) = Ψ^{*} (x, - t)

$\Psi'{}(x,t)= \Psi^*{}(x,-t)$ como

i \frac{\partial}{\partial t} Ψ^{'} (X, t) = i \frac{\partial}{\partial t} Ψ^{*} (X, - t) = i \frac{\partial}{\partial t} {tu}^{*} (X) {mi}^{- i mi t} = mi Ψ^{*} (X, - t) = H (X, - i \frac{\partial}{\partial X}, t) Ψ^{'} (X, t) .

$i \frac{\partial}{\partial t} \Psi'{}(x,t) = i \frac{\partial}{\partial t} \Psi^*{}(x,-t) = i \frac{\partial}{\partial t} u^*(x) e^{-i E t}= E \Psi^*{}(x,-t)= H(x, -i\frac{\partial}{\partial x}, t) \Psi'{}(x,t) .$

3.

Otra forma más de ver el problema, tal vez esta. nosotros no actuamos $T$ en la ecuación de Schroedinger. * Pero encuentra directamente una solución de inversión de tiempo $|\Psi'{}(t) \rangle$ satisface la ecuación de Schroedinger. Si definimos el vector de estado a expandir en el impulso proyectado $|p \rangle$ base:

| Ψ^{'} (t) ⟩ = \sum_{pag} | pag ⟩ ⟨ pag | Ψ^{'} (t) ⟩

$|\Psi'{}(t) \rangle = \sum_p |p \rangle \langle p |\Psi'{}(t) \rangle$ En este caso

Θ | p ⟩ = | - p ⟩

$\Theta | p \rangle= |-p \rangle$ , entonces

| Ψ^{'} (t) ⟩ = Θ | Ψ (t) ⟩ = \sum_{pag} | - pag ⟩ Ψ^{*} (pag, - t) = \sum_{pag} | - pag ⟩ {tu}^{*} (pag) {mi}^{- i mi t} = \sum_{pag} | pag ⟩ {tu}^{*} (- pag) {mi}^{- i mi t} .

$|\Psi'{}(t) \rangle =\Theta|\Psi {}(t) \rangle = \sum_p |-p \rangle \Psi^*{}(p,-t) = \sum_p |-p \rangle u^*(p) e^{- i E t}= \sum_p | p \rangle u^*(-p) e^{- i E t}.$ Entonces podemos probar la versión de función de onda de la ecuación de Schrödinger:

i \frac{\partial}{\partial t} Ψ (pag, t) = H (i \frac{\partial}{\partial pag}, pag, t) Ψ (X, t) .

$i \frac{\partial}{\partial t} \Psi{}(p,t) = H( i\frac{\partial}{\partial p}, p, t) \Psi{}(x,t) .$ Definimos

Ψ^{'} (p, t) = Ψ^{*} (- p, - t)

$\Psi'{}(p,t)= \Psi^*{}(-p,-t)$ .

Crítica o crítica de tres maneras:

El 1. enfoque, Nosotros sí actuamos $T$ en la ecuación de Schroedinger, pero no vemos por qué la función de onda debe ser compleja conjugada bajo $T$ . Pero el $T$ el estado inverso tiene la energía negativa $-E$ .

El 2. enfoque, No actuamos $T$ en la ecuación de Schroedinger, pero vemos por qué la función de onda debe ser compleja conjugada bajo $T$ . También el $T$ el estado inverso tiene la misma energía positiva original $E$ . La nueva función de onda $\Psi'{}(x,t)= \Psi^*{}(x,-t)$ satisface la misma forma de la ecuación de Schroedinger $i \frac{\partial}{\partial t} \Psi'{}(x,t) = H(x, -i \frac{\partial}{\partial x}, t) \Psi'{}(x,t)$ .

El 3. enfoque, No actuamos $T$ en la ecuación de Schroedinger, pero vemos por qué la función de onda debe ser compleja conjugada bajo $T$ . También el $T$ el estado inverso tiene la misma energía positiva original $E$ . La nueva función de onda $\Psi'{}(p,t)= \Psi^*{}(-p,-t)$ satisface la misma forma de la ecuación de Schroedinger $i \frac{\partial}{\partial t} \Psi'{}(p,t) = H( i\frac{\partial}{\partial p}, p, t) \Psi'{}( p, t)$ . Supongo que es verdad?

Las tres versiones de la inversión del tiempo actúan de manera diferente. Sus interpretaciones parecen ser diferentes. ¿Cuál es la forma correcta de definir la inversión del tiempo en la ecuación de Schroedinger?