Covarianza de calibre de la intensidad de campo de Yang-Mills FaμνFμνaF_{\mu\nu}^a

Question

Covarianza de calibre de la intensidad de campo de Yang-Mills FaμνFμνaF_{\mu\nu}^a

Física
notación
yang-mills
teoría de calibre
diferenciación
invariancia de calibre

vicky

De acuerdo con las teorías de Yang-Mills, después de la introducción de una derivada covariante tal que

\begin{matrix} (1) & D_{m} = \partial_{m} - i gramo A_{m}, \end{matrix}

$D_\mu = \partial_\mu - igA_\mu, \tag1$

puede construir el término cinético para el potencial de calibre $A_\mu$ como

\begin{matrix} (2) & L_{A} = - \frac{1}{2} t r {F_{m v} F^{m v}}, F_{m v} = \frac{i}{gramo} [D_{m}, D_{v}] . \end{matrix}

${\cal L}_A = -\frac{1}{2}tr\{F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}\},\qquad F_{\mu \nu} = \frac{i}{g}[D_\mu, D_\nu]. \tag2$

La acción de la derivada covariante se transforma bajo una transformación de grupo local $\Omega$ de la siguiente manera:

\begin{matrix} (3) & D_{m} ψ \to Ω D_{m} ψ . \end{matrix}

$D_\mu\psi \rightarrow \Omega D_\mu\psi. \tag3$

Y el campo de calibre como

\begin{matrix} (4) & A_{m} \to Ω A_{m} Ω^{†} + \frac{i}{gramo} Ω \partial_{m} Ω^{†} . \end{matrix}

$A_\mu \rightarrow \Omega A_\mu\Omega^\dagger + \frac{i}{g}\Omega\partial_\mu \Omega^\dagger . \tag4$

Introduciendo la Ec. (4) en la ecuación. (1) obtienes que bajo las transformaciones de grupo, la derivada covariante se transforma como,

\begin{matrix} (5) & D_{m} \to \partial_{m} - i gramo Ω A_{m} Ω^{†} + Ω \partial_{m} Ω^{†} = Ω D_{m} Ω^{†} + \partial_{m} . \end{matrix}

$D_\mu \rightarrow \partial_\mu - ig\Omega A_\mu\Omega^\dagger + \Omega\partial_\mu\Omega^\dagger = \Omega D_\mu\Omega^\dagger + \partial_\mu . \tag5$

ecuación (5) en la definición de tensor de fuerza en la ecuación. (2) da

\begin{matrix} (6) & F_{m v} \to Ω F_{m v} Ω^{†} + \frac{i}{gramo} (\partial_{m} (Ω D_{v} Ω^{†}) - \partial_{v} (Ω D_{m} Ω^{†})) . \end{matrix}

$F_{\mu\nu} \rightarrow \Omega F_{\mu\nu}\Omega^\dagger + \frac{i}{g}(\partial_\mu(\Omega D_\nu\Omega^\dagger) - \partial_\nu(\Omega D_\mu\Omega^\dagger)) . \tag6$

Tomando $\Omega \simeq 1 - g\theta^iT^i$ , con $\{T^i\}$ el conjunto de generadores del grupo, $\theta^i \in \mathbb{R}$ y $f^{ijk}$ las constantes de estructura:

\begin{matrix} (7) & F_{m v} \to Ω F_{m v} Ω^{†} + \frac{i}{gramo} (\partial_{m} A_{v}^{k} - \partial_{v} A_{m}^{k}) T^{k} + i {gramo}^{2} F^{a j k} T^{k} [\partial_{m} (θ^{j} A_{v}^{a}) - \partial_{v} (θ^{j} A_{m}^{a})] . \end{matrix}

$F_{\mu\nu} \rightarrow \Omega F_{\mu\nu}\Omega^\dagger + \frac{i}{g}(\partial_\mu A_\nu^k - \partial_\nu A_\mu^k)T^k + ig^2f^{ajk}T^k[\partial_\mu(\theta^jA_\nu^a) - \partial_\nu(\theta^jA_\mu^a)] . \tag7$

En los libros de física de partículas se dice que

\begin{matrix} (8) & F_{m v} \to Ω F_{m v} Ω^{†}, \end{matrix}

$F_{\mu\nu} \rightarrow \Omega F_{\mu\nu}\Omega^\dagger \tag{8},$ pero no entiendo eso en mi cálculo (Ec. (7)). ¿Qué estoy haciendo mal? Este resultado es importante porque si

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ no se transforma como dicen los libros, el término cinético en Eq. (2) no es invariante de calibre.

knzhou

Su ecuación (5) se ve increíblemente extraña, por ejemplo, para una transformación de calibre trivial, dice

D_{μ} \to D_{μ} + \partial_{μ}

$D_\mu \to D_\mu + \partial_\mu$ .

pppqqq

Nótese que por la misma definición de derivada covariante, la segunda igualdad en la siguiente ley de transformación:

D_{m} (A) Ψ ⟶ D_{m} (A^{Ω}) Ω Ψ = Ω D^{m} (A) Ψ

$D_\mu(A)\Psi \longrightarrow D_\mu(A^{\Omega}) \Omega \Psi = \Omega D^\mu (A) \Psi$ sostiene su ecuación (5) es de hecho incorrecto.

vicky

@pppqqq No entiendo lo que quieres decir. Lo que ha escrito es la definición de derivada covariante que da la ley de transformación del campo de calibre, pero ¿cómo prueba que mi Eq. (5) está mal?

vicky

En realidad, obtienes la ley de transformación del campo de calibre por escrito

D_{μ} (A^{Ω}) Ω ψ = Ω D_{μ} ψ

$D_\mu(A^\Omega) \Omega\psi = \Omega D_\mu\psi$ con

D_{μ} (A^{Ω}) = \partial_{μ} - i g A_{μ}^{Ω}

$D_\mu(A^\Omega) = \partial_\mu - igA_\mu^\Omega$ , así que una vez que sepas

A_{μ}^{Ω}

$A_\mu^\Omega$ (Ec. (4)) conoce la ley de transformación para la derivada covariante, Eq(5)

pppqqq

El lado derecho de su ecuación. (5) es lo que he denotado

D_{μ} (A^{Ω})

$D_\mu (A^\Omega)$ . La definición de

D_{μ}

$D_\mu$ es tal que:

D_{m} (A^{Ω}) = Ω D_{m} (A) Ω^{†}

$D_\mu(A^\Omega)=\Omega D_\mu (A) \Omega^\dagger$

vicky

@knzhou Creo que tu ejemplo está mal, porque

Ω D_{μ} Ω^{†} = Ω (\partial_{μ} Ω^{†}) - i g Ω A_{μ} Ω^{†}

$\Omega D_\mu\Omega^\dagger = \Omega(\partial_\mu \Omega^\dagger) - ig\Omega A_\mu\Omega^\dagger$ (como se puede deducir de la ecuación (4)), por lo que bajo transformación trivial

D_{μ} \to D_{μ}

$D_\mu \rightarrow D_\mu$

knzhou

El problema es que estás cambiando libremente sobre qué actúa la derivada. A veces, tomas

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ actuar sólo sobre el derecho inmediato a su derecho. Otras veces lo tomas para actuar sobre todo a la derecha. Para obtener (5) cambiaste el significado, y en tu comentario anterior los cambiaste de nuevo.

vicky

@knzhou No veo dónde cambio el significado. Deduzco la Ec. (5) a través de la ecuación. (4) donde la derivada parcial actúa sólo sobre

Ω^{†}

$\Omega^\dagger$ y cuando escribo

Ω D_{μ} Ω^{†}

$\Omega D_\mu\Omega^\dagger$ está implícito que primero debe calcular este elemento y luego aplicarlo a cualquier otra cosa que haya en su lado derecho. Así que no cambié el significado de nada o al menos no lo veo.

Respuestas (2)

Covarianza de calibre de la intensidad de campo de Yang-Mills FaμνFμνaF_{\mu\nu}^a

Su ecuación (5) se ve increíblemente extraña, por ejemplo, para una transformación de calibre trivial, dice $D_\mu \to D_\mu + \partial_\mu$ .
Nótese que por la misma definición de derivada covariante, la segunda igualdad en la siguiente ley de transformación: $D_{m} (A) Ψ ⟶ D_{m} (A^{Ω}) Ω Ψ = Ω D^{m} (A) Ψ$ $D_\mu(A)\Psi \longrightarrow D_\mu(A^{\Omega}) \Omega \Psi = \Omega D^\mu (A) \Psi$ sostiene su ecuación (5) es de hecho incorrecto.
@pppqqq No entiendo lo que quieres decir. Lo que ha escrito es la definición de derivada covariante que da la ley de transformación del campo de calibre, pero ¿cómo prueba que mi Eq. (5) está mal?
En realidad, obtienes la ley de transformación del campo de calibre por escrito $D_\mu(A^\Omega) \Omega\psi = \Omega D_\mu\psi$ con $D_\mu(A^\Omega) = \partial_\mu - igA_\mu^\Omega$ , así que una vez que sepas $A_\mu^\Omega$ (Ec. (4)) conoce la ley de transformación para la derivada covariante, Eq(5)
El lado derecho de su ecuación. (5) es lo que he denotado $D_\mu (A^\Omega)$ . La definición de $D_\mu$ es tal que: $D_{m} (A^{Ω}) = Ω D_{m} (A) Ω^{†}$ $D_\mu(A^\Omega)=\Omega D_\mu (A) \Omega^\dagger$
@knzhou Creo que tu ejemplo está mal, porque $\Omega D_\mu\Omega^\dagger = \Omega(\partial_\mu \Omega^\dagger) - ig\Omega A_\mu\Omega^\dagger$ (como se puede deducir de la ecuación (4)), por lo que bajo transformación trivial $D_\mu \rightarrow D_\mu$
El problema es que estás cambiando libremente sobre qué actúa la derivada. A veces, tomas $\partial_\mu$ actuar sólo sobre el derecho inmediato a su derecho. Otras veces lo tomas para actuar sobre todo a la derecha. Para obtener (5) cambiaste el significado, y en tu comentario anterior los cambiaste de nuevo.
@knzhou No veo dónde cambio el significado. Deduzco la Ec. (5) a través de la ecuación. (4) donde la derivada parcial actúa sólo sobre $\Omega^\dagger$ y cuando escribo $\Omega D_\mu\Omega^\dagger$ está implícito que primero debe calcular este elemento y luego aplicarlo a cualquier otra cosa que haya en su lado derecho. Así que no cambié el significado de nada o al menos no lo veo.

qmecanico · Answer 1

Sugerencia: la discrepancia de OP parece estimulada por el tratamiento inconsistente de los símbolos derivados, es decir, ¿cuán lejos actúan los derivados a la derecha?/¿sobre cuántos objetos actúan los derivados? Consulte esta publicación de Phys.SE para un problema similar. Por ejemplo, la ecuación de OP. (5) es correcto o incorrecto según el significado preciso de los derivados en él.

vicky · Answer 2

Bien, creo que encontré la respuesta. ecuación (5) debe escribirse como:

\begin{matrix} (A) & D_{m} \to \partial_{m} + Ω (\partial_{m} Ω^{†}) - i gramo Ω A_{m} Ω^{†} \end{matrix}

$D_\mu \rightarrow \partial_\mu + \Omega(\partial_\mu \Omega^\dagger) - ig\Omega A_\mu\Omega^\dagger \tag{A}$

Como se puede deducir de la Ec. (4) que es consecuencia de imponer $D_\mu\psi \rightarrow \Omega D_\mu\psi$ . Sin embargo, puede reescribir la Ec. (A) como:

\begin{matrix} (B) & D_{m} \to (Ω \partial_{m}) Ω^{†} - i gramo Ω A_{m} Ω^{†} = Ω D_{m} Ω^{†} \end{matrix}

$D_\mu \rightarrow (\Omega\partial_\mu)\Omega^\dagger - ig\Omega A_\mu\Omega^\dagger = \Omega D_\mu\Omega^\dagger \tag{B}$

Después de considerar,

\begin{matrix} (C) & (Ω \partial_{m}) Ω^{†} = Ω (\partial_{m} Ω^{†}) + Ω Ω^{†} \partial_{m} = Ω (\partial_{m} Ω^{†}) + \partial_{m} \end{matrix}

$(\Omega\partial_\mu)\Omega^\dagger = \Omega(\partial_\mu \Omega^\dagger) + \Omega\Omega^\dagger\partial_\mu = \Omega(\partial_\mu \Omega^\dagger) + \partial_\mu \tag{C}$

Entonces, con esto, todo tiene sentido y el tensor de fuerza es perfectamente covariante de calibre, teniendo en cuenta las Ecs. (B)-(C) al interpretar la ecuación de OP. (8).

Debe marcar esto como la respuesta aceptada a pesar de que lo resolvió usted mismo.
@Natanael Hay un tiempo obligatorio que debes esperar entre la auto-respuesta y la aceptación

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knzhou

vicky

Respuestas (2)

qmecanico

vicky

natanael

vicky

¿Hay alguna buena idea de dónde provienen las simetrías de calibre no abelianas?

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