¿Cómo mostrar que el intervalo de espacio-tiempo es invariante en general?

Entiendo cómo derivar el intervalo de espacio-tiempo siendo invariante para el espacio de Minkowski, pero nunca he visto ninguna derivación en el espacio-tiempo curvo general. ¿La invariancia se derivó simplemente para el espacio de Minkowski y luego se postuló que se cumple para todos los tensores métricos en la relatividad general, o hay una prueba que demuestre que es invariante en la relatividad general?

Parece que hay una confusión entre las dos respuestas a continuación. La primera muestra que el número d s 2 es siempre invariante. El segundo muestra que la forma de d s 2 , es decir d t 2 − d X 2 − d y 2 − d z 2 es invariante, lo que equivale a decir que los componentes del tensor métrico gramo m v son invariantes, bajo transformaciones de Lorentz.
Entonces las respectivas respuestas son sí, siempre; y no, solo en SR.

Respuestas (3)

Veamos una transformación de coordenadas invertible arbitraria:

X m → X ′ m = X ′ m ( X v ) .
El jacobiano correspondiente Λ
Λ     ρ m = ∂ X ′ m ∂ X ρ
es invertible
Λ σ     v = ∂ X v ∂ X ′ σ .
Un vector se transforma como
X ′ m = ∂ X ′ m ∂ X σ X σ = Λ     σ m X σ .
La propiedad definitoria de un tensor de segundo rango (el tensor métrico es tal tensor) es que se transforma como
gramo ρ σ ′ = ∂ X m ∂ X ′ ρ ∂ X v ∂ X ′ σ gramo m v = Λ ρ     m Λ σ     v gramo m v .

Con eso en mente, probemos este cálculo tensorial en nuestro elemento de línea:

d s ′ 2 = gramo m v ′ d X ′ m d X ′ v = gramo m v ′ Λ     ρ m Λ     σ v d X ρ d X σ = gramo m v d X ρ d X σ = d s 2 .
Ese sería el cálculo de libro de texto para la invariancia del elemento de línea usando el cálculo tensorial. Para probar la propiedad de transformación de un tensor de segundo rango, uno expresaría todo a través de vectores base y usaría las relaciones de esos vectores base.

Entonces, la invariancia del elemento de línea es más una característica del cálculo tensorial. Un escalar es invariante bajo transformaciones de coordenadas que no tienen nada que ver con la relatividad especial o general.

Muchas gracias, eso es mucho más simple de lo que pensé que sería.

No puede derivar la invariancia del elemento de línea porque es una de las suposiciones en las que se basa la relatividad (ambos tipos). Cuando tu dices:

Entiendo cómo derivar el intervalo de espacio-tiempo siendo invariante para el espacio de minkowski

Supongo que quiere decir que puede mostrar que las transformaciones de Lorentz conservan el elemento de línea. Sin embargo, la mayoría de nosotros consideraría que la invariancia del elemento de línea es más fundamental y luego derivaría las transformaciones de Lorentz del requisito de que se conserve el elemento de línea.

No existe un equivalente simple a las transformaciones de Lorentz en relatividad general. Las transformaciones de Lorentz son una transformación de coordenadas pero muy simple donde la transformación es entre marcos inerciales en un espacio-tiempo plano. Si bien usamos las transformaciones de coordenadas ampliamente en GR, generalmente son mucho más complicadas que las transformaciones de Lorentz.

Sin embargo, en GR, al igual que en SR, la invariancia del elemento de línea:

d s 2 = gramo α β d X α d X β

siempre se aplica a través de la métrica gramo α β generalmente es más complicado.

+1 porque responde muy bien la pregunta y porque realmente necesita el representante
Gracias por la respuesta, pero no estoy de acuerdo con que no se pueda derivar el intervalo de espacio-tiempo en la relatividad especial. A partir de los postulados de homogeneidad del espacio-tiempo, isotropía del espacio e invariancia de la velocidad de la luz es trivial derivar la invariancia del intervalo del espacio-tiempo en la relatividad especial, como se hace en la página 4 de la teoría clásica de campos de Landau. No es necesario introducir transformaciones de Lorentz para demostrar que es invariante.
@Jack: nuevamente, lo vería al revés. Partiendo de la invariancia del elemento lineal, es trivial demostrar que la velocidad de la luz es una constante para todos los observadores. Solo depende de qué cantidades considere fundamentales y qué cantidades se deriven. Mi opinión es que la invariancia del elemento lineal es el principio más fundamental de la relatividad (ambos sabores).
Tienes toda la razón, por supuesto, aunque es mucho más común considerar la invariancia de la velocidad de la luz como un postulado fundamental de la relatividad especial que el elemento lineal (e históricamente así es como se llegó por primera vez a la relatividad especial).
@Jack: Conozco a algunas personas que trabajan en relatividad, y todas consideran que la invariancia del elemento de línea es más fundamental. Los libros de texto de pregrado no hacen esto, lo que creo que es una tontería porque hace que la RS sea más fácil de entender. Predigo con confianza que si continúas con un doctorado en relatividad terminarás estando de acuerdo conmigo :-)
Cuál es más fundamental... depende de si eres teórico o experimentalista. :)
Como estudiante de doctorado en física de partículas, tengo muchos libros de posgrado en QFT que tratan bastante sobre relatividad, y recuerdo que todos consideran que la velocidad de la luz es invariable como un postulado fundamental. Es posible que tenga razón en que los doctorados puramente en relatividad podrían considerar que el elemento de línea es más fundamental, pero ciertamente no es solo cosa de estudiantes pensar de otra manera. E históricamente, Einstein llegó al elemento lineal al considerar la invariancia de la velocidad de la luz como un postulado fundamental, y no al revés.
@Jack: Eso es QFT para ti :-) Más en serio, la velocidad coordinada de la luz no es constante en GR, entonces, ¿dónde te deja eso si tomas la constancia de la velocidad de la luz como punto de partida? Eso no importa en QFT ya que generalmente solo se trata de un espacio-tiempo plano. Pero no estoy diciendo que estés equivocado, solo depende de dónde empieces.
Entonces, en una nota similar, dado que en la relatividad especial puede derivar algunos de los postulados más comúnmente tomados al considerar la invariancia del elemento de línea como un postulado fundamental, ¿puede mostrar cosas como el principio de equivalencia solo es cierto asumiendo la invariancia de el elemento lineal relativista general?
@Jack: El principio de equivalencia es la razón por la que puedes describir la gravedad como una teoría métrica. Supongo que si tomas la métrica como punto de partida eso implica el principio de equivalencia, pero no diría que esto es una derivación. Supongo que la mayoría de nosotros consideraría el principio de equivalencia como equivalente a la afirmación de que la gravedad es una teoría métrica. Si desea discutir esto, realmente deberíamos continuar en la sala de chat en lugar de abarrotar el sitio principal.
En la Teoría clásica de campos de Landau, en las primeras páginas, prueba/establece la igualdad d s 2 = d s ′ 2 por cualquier valor de d s 2 explotando el postulado de que la velocidad de la luz en el vacío es la misma en todos los marcos inerciales. @juanrennie
@SRS es una cuestión de perspectiva. Si comienzas con la suposición de que d s 2 es un invariante, entonces la constancia de la velocidad de la luz se sigue automáticamente. Entonces, lo que implica que depende de lo que tomas como más fundamental.
Landau toma la "constancia de la velocidad de la luz en el vacío" como uno de los postulados físicos y de ahí deduce la invariancia de d s 2 , en general. Ni siquiera habla de las transformaciones de Lorentz al hacerlo. Me preguntaba si existe tal postulado físico que imponga la invariancia de d s 2 en GR. Eso me llevó a hacer esta pregunta physics.stackexchange.com/questions/602384/… @JohnRennie

El intervalo de espacio-tiempo es un concepto del espacio-tiempo de Minkovski. También aparece en la relatividad general en su forma infinitesimal. d s , ya que los principios de la relatividad especial se aplican localmente dentro del espacio-tiempo curvo de la relatividad general. En la relatividad general, las distancias entre dos puntos en el espacio-tiempo curvo se describen mediante geodésicas o mediante una integral de trayectoria sobre d s .

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