Aplicación del teorema de Noether

Question

Aplicación del teorema de Noether

qoqosz

Considere una transformación de parámetros: $y = y ( \tilde{y}, \alpha)$ tal que el lagrangiano satisface: $\tilde{L}(\tilde{y}, \alpha) = L(y ( \tilde{y}, \alpha))$ . Decimos que la ecuación es invariante bajo esta transformación si:
$\tilde{L} (\tilde{y}, α) = L (\tilde{y}) + \frac{d F (\tilde{y}, α)}{d t}$ $\tilde{L}(\tilde{y}, \alpha) = L(\tilde{y}) + \frac{dF(\tilde{y},\alpha)}{dt}$ Muestra esa: $\int \frac{d L}{d y_{t}} \frac{\partial y}{\partial α} d X - \frac{\partial F}{\partial α}$ $\int \frac{\delta L}{\delta y_t} \frac{\partial y}{\partial \alpha} dx - \frac{\partial F}{\partial \alpha}$ es una constante de movimiento.

Aquí $\tilde{y}$ es un campo antiguo antes de la transformación, también lo es el lagrangiano $\tilde{L}$ . El espacio es bidimensional $(x, t)$ y el ejercicio se enumera en la sección relativa a la ecuación KdV.

¿Alguna pista?

qmecanico

¿De qué libro de texto es el ejercicio?

qoqosz

@Qmechanic No lo sé. El profesor me dio una lista de tareas sin especificar la fuente.

qmecanico

¿Es posible vincular a un archivo con la formulación del problema original?

qoqosz

@Qmechanic aquí hay un original en polaco: sdrv.ms/YfdHvx

Respuestas (1)

Aplicación del teorema de Noether

@Qmechanic No lo sé. El profesor me dio una lista de tareas sin especificar la fuente.
¿Es posible vincular a un archivo con la formulación del problema original?

qmecanico · Answer 1

Dado que el problema de OP parece una tarea, solo le proporcionaremos a OP una serie de sugerencias en lugar de una solución completa.

I) El Lagrangiano $L~=~\int \! dx ~{\cal L}$ es la integral espacial de la densidad lagrangiana ${\cal L}$ . Llamemos al campo de posición $q(x,t)$ y el campo de velocidad correspondiente $v(x,t)$ . el lagrangiano $L[q(\cdot,t),v(\cdot,t)]$ es un funcional de los campos de posición y velocidad, cf. por ejemplo, esta respuesta Phys.SE. El campo de momento es la derivada funcional

\begin{matrix} (1) & pag (X, t) := \frac{d L [q (\cdot, t), v (\cdot, t)]}{d v (X, t)} . \end{matrix}

$\tag{1} p(x,t)~:=~\frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t)]}{\delta v(x,t)}.$

Una variación infinitesimal $\delta L$ del funcional lagrangiano $L$ es dado por

\begin{matrix} (2) & d L = \int d X (\frac{d L}{d q} d q + \frac{d L}{d v} d v) . \end{matrix}

$\tag{2} \delta L~=~\int \! dx~\left( \frac{\delta L}{\delta q}\delta q+\frac{\delta L}{\delta v}\delta v \right).$ El ejercicio básicamente le pide a OP que derive una versión funcional del Teorema de Noether , que probablemente conoce para la mecánica de puntos ordinarios.

II) Deja

\begin{matrix} (3) & d q = ε Y \end{matrix}

$\tag{3} \delta q~=~\varepsilon Y$ ser una variación infinitesimal del campo de posición, donde

ε

$\varepsilon$ es una constante infinitesimal, y donde

Y

$Y$ es el generador. En consecuencia, el campo de velocidad se transforma como

\begin{matrix} (4) & d v = ε \dot{Y} . \end{matrix}

$\tag{4}\delta v~=~\varepsilon \dot{Y}.$ (La transformación (3) es una de las llamadas transformaciones verticales . En general, también se podrían permitir contribuciones horizontales de la variación de

x

$x$ y

t

$t$ .)

III) Suponga que la transformación (2) es la llamada cuasi-simetría

\begin{matrix} (5) & d ({L |}_{v = \dot{q}}) = ε \frac{d}{d t} ({F |}_{v = \dot{q}}), \end{matrix}

$\tag{5} \delta\left(\left. L \right|_{v=\dot{q}}\right)~=~ \varepsilon\frac{d}{dt} \left(\left. F\right|_{v=\dot{q}}\right),$ dónde

F [q (\cdot, t), v (\cdot, t)]

$F[q(\cdot,t),v(\cdot,t)]$ es algo funcional. (Si

F = 0

$F=0$ es cero, entonces la cuasi-simetría se convierte en una simetría del Lagrangiano

L

$L$ .)

IV) El (componente temporal de la) corriente desnuda de Noether $j^0$ para una transformación vertical (3) es simplemente el campo de cantidad de movimiento $p$ veces el generador vertical $Y$ ,

\begin{matrix} (6) & j^{0} := pag Y . \end{matrix}

$\tag{6} j^0 ~:=~p Y.$

La carga desnuda de Noether $Q^0$ es la integral espacial

\begin{matrix} (7) & q^{0} := \int d X j^{0} . \end{matrix}

$\tag{7} Q^0 ~:=~ \int \! dx~j^0.$

La carga completa de Noether $Q$ se mejora con (menos) el $F$ -funcional,

\begin{matrix} (8) & q := q^{0} - F . \end{matrix}

$\tag{8} Q ~:=~Q^0-F.$

La fórmula (8) corresponde a la última fórmula de OP (v1). El teorema de Noether establece que $Q$ es una cantidad conservada en el caparazón, es decir, si la ecuación de movimiento

\begin{matrix} (9) & \frac{d}{d t} {(\frac{d L}{d v} |}_{v = \dot{q}}) = {\frac{d L}{d q} |}_{v = \dot{q}} \end{matrix}

$\tag{9} \left.\frac{d}{dt} \left(\frac{\delta L}{\delta v}\right|_{v=\dot{q}}\right)~=~\left. \frac{\delta L}{\delta q}\right|_{v=\dot{q}}$

Está satisfecho. La prueba en el entorno funcional es muy similar a la prueba habitual que se da en la mecánica de puntos ordinaria.

Gracias por su respuesta. Mi problema principal es ¿cómo funciona la derivada parcial? $\partial F / \partial \alpha$ aparece? No puedo ver este.
@qoqosz: La contribución de primer orden es $\alpha~\partial F / \partial \alpha$ en la notación del ejercicio. Esto debe identificarse con $\varepsilon F$ en mi notación.
¡Muchas gracias! Debo pensar en esto un poco más, pero definitivamente es más claro ahora.

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