Densidad de probabilidad de una partícula libre

Question

Densidad de probabilidad de una partícula libre

Anónimo

Recientemente he estado estudiando QM y me he encontrado con el caso de una partícula libre. Entendí que una partícula libre viaja en forma de paquete de ondas donde llegamos

ψ (X) = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} ϕ (k) {mi}^{i k X} d k}{\sqrt{2 π}}

$\psi (x) = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} \phi (k) e^{ikx} dk}{\sqrt {2 \pi}}$ ahora dado

ψ (x, 0)

$\psi (x,0)$ puedo encontrar

ψ (x, t)

$\psi (x,t)$ ahora estamos obligados a encontrar la densidad de probabilidad de la función de onda. Creo que debería ser

ψ^{*} (x, t) ψ (x, t)

$\psi ^*(x,t)\psi (x,t)$ pero la solución dada no

ϕ^{*} (k, t) ϕ (k, t)

$\phi^*(k,t)\phi(k,t)$ y estoy confundido. Sumado a esto, también se nos da el impulso de la partícula es

2 ℏ k

$2\hbar k$ pero no tengo idea de dónde necesitamos usar este valor o si tiene algún significado o no. También estamos obligados a encontrar la energía media y lo hice de la manera normal:

\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (x) H ψ (x)

$\int_{-\infty}^{\infty}\psi^* (x) H \psi (x)$ pero la respuesta no coincide. ¿Estoy interpretando algo mal sobre la partícula libre? Por favor, ayuda, estoy realmente confundido, me alegraría recibir alguna pista.

Encontré este enlace donde dice $\phi(k)$ es la amplitud de probabilidad del momento de la partícula libre, pero ¿no encontraremos el valor esperado del momento de la partícula mediante esta fórmula?

\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (X) \frac{- i ℏ d}{d X} ψ (X) ?

$\int_{-\infty}^{\infty}\psi^* (x) \frac{-i\hbar d}{dx} \psi (x)~?$ Densidad de probabilidad de impulso en Mecánica Cuántica

Para ser precisos: estoy publicando la declaración de la pregunta aquí:

En el instante 𝑡=0, una partícula libre en estado mecánico cuántico se describe mediante la función de onda 𝜓(𝑥)= $\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{\frac{-\alpha x^2}{2}}$ .

(a) Encuentre la densidad de probabilidad de la partícula con cantidad de movimiento 2ℏ𝑘 en cualquier tiempo t. Aquí, k es el vector de onda.

(b) Encuentre la energía media de la partícula en cualquier tiempo t.

Nota: Esta no es una pregunta de HW. Más bien una pregunta que salió en nuestro examen de la universidad.

G. Smith

Esta no es una pregunta de HW. Eso no es relevante. Si una pregunta se considera tarea o no, como en este sitio, no tiene nada que ver con si es o fue tarea real para usted o cualquier otra persona, o si es o fue en algún examen para usted o cualquier otra persona. Se supone que la decisión se basa solo en el tipo de pregunta que está haciendo.

G. Smith

¿Ha traducido la declaración de la pregunta al inglés? Parece que debería estar preguntando "Encuentra la densidad de probabilidad de que la partícula tenga un impulso de 2ℏ𝑘 en cualquier momento t". Esta sería una densidad de probabilidad en el espacio de momentos .

G. Smith

Puedes escribir

ℏ

$\hbar$ como \hbar.

Gert

Su valor esperado de impulso parece carecer de un diferencial.

G. Smith

paquete de ondas gaussianas No hay nada gaussiano en lo que has escrito.

usuario250764

@ G.Smith No he traducido la declaración. Originalmente solo estaba en inglés. Y paquete de ondas gaussianas, usé esta palabra porque había leído que los paquetes de ondas son en su mayoría de naturaleza gaussiana. Puedo estar equivocado. ¿Debería editarlo?

G. Smith

Lo que escribiste es una transformada de Fourier. Puede representar un paquete de ondas con cualquier forma, no solo una forma gaussiana, por lo que recomiendo eliminar la palabra "gaussiana".

pglpm

Parece que tienes cierta confusión entre probabilidad y expectativa. También me temo que estás tratando de memorizar fórmulas ("Lo hice de la manera normal..."). Hay varios buenos libros sobre teoría cuántica que realmente te ayudan a entender y que explican los conceptos paso a paso. Eche un vistazo, por ejemplo, a Foundations of Quantum Mechanics de Muynck y Quantum Theory: Concepts and Methods de Peres . Verifique el formalismo de los POVM , hace que la medición y la probabilidad sean mucho más claras.

JEB

la definición de

ψ (x)

$\psi(x)$ como una integral sobre

d x

$dx$ Está Mal. Se supone que debes agregar estados propios de impulso de manera coherente

\exp i k x

$\exp{ikx}$ con impulso en

(k, k + d x)

$(k,k+dx)$ con peso

ϕ (k)

$\phi(k)$ .

usuario250764

@JEB, sí, tienes razón, eso fue un error tipográfico. arreglado. Pero, ¿cómo sabía que los estados propios de la cantidad de movimiento son exp ikx y los valores propios de la cantidad de movimiento son

ϕ (k)

$\phi(k)$ ? como si hubiera leído a Griffith de cabo a rabo, pero el libro no menciona qué es

ϕ (k)

$\phi(k)$ , lo que interpreté fue que esos son los coeficientes que generalmente tenemos en el caso de los tipos Asinkx+Bcoskx , A y B, y no puedo vincular esto con el impulso en absoluto.

ricardo myers

Para abordar todas las confusiones que tiene, parecería necesario escribir los capítulos introductorios de un texto de QM. Incluso Griffiths contiene las respuestas a estas preguntas, que usted dice haber leído de cabo a rabo. Hay muchos otros textos de QM (y notas en línea) si encuentra que la presentación de Griffith no es clara, aunque pocos serían tan suaves matemáticamente.

usuario250764

Sí, también estaba un poco confundido sobre el potencial de los pozos cuadrados finitos y encontré útiles los cursos del MIT, pero con respecto a las partículas libres, no pude encontrar ninguna buena fuente (código abierto), ¿podría compartir algún material de código abierto que discuta mis dudas? preferiblemente algo que tenga una discusión exhaustiva sobre partículas libres.

JEB

@Alex:

- i \partial_{x} e^{i k x} = k e^{i k x}

$-i\partial_xe^{ikx}=ke^{ikx}$ entonces

e^{i k x}

$e^{ikx}$ es un estado propio con cantidad de movimiento

k

$k$ .

Cosmas Zachos

Este es un paquete de ondas gaussianas . Debería aparecer en su texto y en la mayoría de los textos QM decentes. Leer.

Respuestas (1)

Densidad de probabilidad de una partícula libre

Esta no es una pregunta de HW. Eso no es relevante. Si una pregunta se considera tarea o no, como en este sitio, no tiene nada que ver con si es o fue tarea real para usted o cualquier otra persona, o si es o fue en algún examen para usted o cualquier otra persona. Se supone que la decisión se basa solo en el tipo de pregunta que está haciendo.
¿Ha traducido la declaración de la pregunta al inglés? Parece que debería estar preguntando "Encuentra la densidad de probabilidad de que la partícula tenga un impulso de 2ℏ𝑘 en cualquier momento t". Esta sería una densidad de probabilidad en el espacio de momentos .
Su valor esperado de impulso parece carecer de un diferencial.
paquete de ondas gaussianas No hay nada gaussiano en lo que has escrito.
@ G.Smith No he traducido la declaración. Originalmente solo estaba en inglés. Y paquete de ondas gaussianas, usé esta palabra porque había leído que los paquetes de ondas son en su mayoría de naturaleza gaussiana. Puedo estar equivocado. ¿Debería editarlo?
Lo que escribiste es una transformada de Fourier. Puede representar un paquete de ondas con cualquier forma, no solo una forma gaussiana, por lo que recomiendo eliminar la palabra "gaussiana".
Parece que tienes cierta confusión entre probabilidad y expectativa. También me temo que estás tratando de memorizar fórmulas ("Lo hice de la manera normal..."). Hay varios buenos libros sobre teoría cuántica que realmente te ayudan a entender y que explican los conceptos paso a paso. Eche un vistazo, por ejemplo, a Foundations of Quantum Mechanics de Muynck y Quantum Theory: Concepts and Methods de Peres . Verifique el formalismo de los POVM , hace que la medición y la probabilidad sean mucho más claras.
la definición de $\psi(x)$ como una integral sobre $dx$ Está Mal. Se supone que debes agregar estados propios de impulso de manera coherente $\exp{ikx}$ con impulso en $(k,k+dx)$ con peso $\phi(k)$ .
@JEB, sí, tienes razón, eso fue un error tipográfico. arreglado. Pero, ¿cómo sabía que los estados propios de la cantidad de movimiento son exp ikx y los valores propios de la cantidad de movimiento son $\phi(k)$ ? como si hubiera leído a Griffith de cabo a rabo, pero el libro no menciona qué es $\phi(k)$ , lo que interpreté fue que esos son los coeficientes que generalmente tenemos en el caso de los tipos Asinkx+Bcoskx , A y B, y no puedo vincular esto con el impulso en absoluto.
Para abordar todas las confusiones que tiene, parecería necesario escribir los capítulos introductorios de un texto de QM. Incluso Griffiths contiene las respuestas a estas preguntas, que usted dice haber leído de cabo a rabo. Hay muchos otros textos de QM (y notas en línea) si encuentra que la presentación de Griffith no es clara, aunque pocos serían tan suaves matemáticamente.
Sí, también estaba un poco confundido sobre el potencial de los pozos cuadrados finitos y encontré útiles los cursos del MIT, pero con respecto a las partículas libres, no pude encontrar ninguna buena fuente (código abierto), ¿podría compartir algún material de código abierto que discuta mis dudas? preferiblemente algo que tenga una discusión exhaustiva sobre partículas libres.
@Alex: $-i\partial_xe^{ikx}=ke^{ikx}$ entonces $e^{ikx}$ es un estado propio con cantidad de movimiento $k$ .
Este es un paquete de ondas gaussianas . Debería aparecer en su texto y en la mayoría de los textos QM decentes. Leer.

Manas Choudhary · Answer 1

Déjame darte algunas ideas sobre tu problema.

¿Por qué estamos haciendo $\phi(k, t)^*\phi(k, t)$ en vez de hacer lo normal $\psi(x, t)^*\psi(x, t)$ ? Esto es simplemente porque $\psi(x, t)^*\psi(x, t)$ representa la densidad de probabilidad de que la partícula se encuentre en un estado propio de posición dada. En términos más simples, encontrarse en una posición particular en el espacio unidimensional. Pero, si lee su pregunta detenidamente, le está pidiendo que encuentre la probabilidad de encontrarse en un estado propio de impulso. Entonces, saltamos naves al espacio de impulso. Aquí es donde intervienen la transformada de Fourier y los trucos de Fourier inversa. Recuerde los postulados de la mecánica cuántica y encontrará que el cuadrado de los coeficientes en la expansión de una función propia en términos de los vectores propios de un observable representa la probabilidad de ser encontrado en ese estado propio de lo observable. Entonces, haciendo $\phi(k, t)^*\phi(k, t)$ es correcto aparte de algunas constantes inherentes que puede encontrar fácilmente si busca la transformada de Fourier en cualquier texto estándar.
Esto es mucho más trivial y fácil de descubrir si observas detenidamente. Su función de onda no está normalizada, por lo que su fórmula no funcionará. Normalice primero y luego intente usar esa fórmula o simplemente haga
$⟨ mi ⟩ = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} \hat{H} ψ d X}{\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} ψ d X}$ $\langle E\rangle=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*\hat H\psi dx}{\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*\psi dx}$

Densidad de probabilidad de una partícula libre

Anónimo

G. Smith

G. Smith

G. Smith

Gert

G. Smith

usuario250764

G. Smith

pglpm

JEB

usuario250764

ricardo myers

usuario250764

JEB

Cosmas Zachos

Respuestas (1)

Manas Choudhary

¿Por qué ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} es una función de onda válida ya que no es finitamente integrable en RR\Bbb R?

corriente de probabilidad

¿Por qué se define de esta manera el coeficiente de reflexión en la dispersión mecánica cuántica?

Probabilidad de encontrar una partícula en el lado izquierdo en el tiempo ttt

Forma de la ecuación de Schrödinger para la densidad de probabilidad

Inexistencia de una probabilidad para ecuaciones de ondas reales

Onda de partículas libres normalizable en 1D

Confusión de densidad de corriente de probabilidad

Probabilidad cero de encontrar un electrón en el núcleo.

Formulación y probabilidad de una función de onda [cerrado]