Coordenadas cíclicas en mecánica hamiltoniana

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Coordenadas cíclicas en mecánica hamiltoniana

Física
hamiltoniano
leyes-de-conservacion
formalismo hamiltoniano

ZAC

Estaba leyendo sobre mecánica hamiltoniana y me encontré con lo siguiente:

Si una coordenada generalizada $q_j$ no ocurre explícitamente en el hamiltoniano, entonces $p_j$ es una constante de movimiento (es decir, una constante, independiente del tiempo para un verdadero movimiento dinámico). $q_j$ luego se convierte en una función lineal del tiempo. tal coordenada $q_j$ se llama coordenada cíclica.

La cita anterior está tomada de la p. 4 en ref. 1.

lo que no entiendo es porque $q_j$ es una función lineal del tiempo si $p_j$ es constante en el tiempo. En otras palabras, ¿por qué $p_j$ constante en el tiempo implica parcial $\frac{\partial H}{\partial p_j}$ es una constante? (En particular, $\frac{\partial H}{\partial p_j}$ podría depender de cualquiera de las otras coordenadas o momentos.)

Referencia:

Patrick Van Esch, Teoría de Hamilton-Jacobi en Mecánica Clásica , Notas de clase. El archivo pdf está disponible en la página de inicio del autor aquí .

Respuestas (2)

Coordenadas cíclicas en mecánica hamiltoniana

qmecanico · Answer 1

OP tiene razón. El texto tiene un error. Una coordenada cíclica $q_j$ no tiene que ser una función lineal de $t$ .

Ejemplo: Considere dos pares canónicos $(q,p)$ y $(Q,P)$ con hamiltoniano $H= p Q +P$ .

Entonces $q$ es cíclico, y por lo tanto $p$ es una constante de movimiento.

$\dot{Q} =\frac{\partial H}{\partial P}=1$ , entonces $Q$ es una función lineal del tiempo.

$\dot{q}= \frac{\partial H}{\partial p} = Q$ , y por lo tanto $q$ es una función cuadrática del tiempo.

Noiralef · Answer 2

Es una vieja pregunta y ya tiene una buena respuesta, solo quería agregar rápidamente un ejemplo más físico.

Tome una partícula 2D en un potencial central en coordenadas polares, la función de Lagrange es

L (r, \dot{r}, θ, \dot{θ}) = \frac{1}{2} ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}) - V (r) .

$L(r,\dot r,\theta,\dot\theta) = \frac 1 2 \left( \dot r^2 + r^2 \dot\theta^2 \right) - V(r) \;.$ Ahora el ángulo

θ

$\theta$ es una variable cíclica, lo que nos da la ley de conservación

\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}} = r^{2} \dot{θ} = constante \equiv C .

$\frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = r^2 \dot\theta = \text{const} \equiv c \;.$

Sin embargo,

θ (t) = θ_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \frac{C d X}{r^{2} (X)}

$\theta(t) = \theta_0 + \int_{t_0}^t \frac{c\, \mathrm dx}{r^2(x)}$ no es lineal en el tiempo en general.

Coordenadas cíclicas en mecánica hamiltoniana

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