¿Cómo obtener hamiltoniano de QED de lagrangiano?

Lo que sigue es lo que se podría describir como aplicar ingenuamente la transformada de Legendre para construir el hamiltoniano a partir del lagrangiano. "Teoría cuántica de los campos" de Weinberg, vol. El capítulo 8 repasa la cuantización canónica del campo electromagnético que maneja correctamente las ecuaciones de restricción.

En lugar de encontrar el$T^{00}$componente del tensor de tensión-energía, que a menudo necesita modificarse usando las ecuaciones de movimiento para darles una forma reconocible, puede construir el hamiltoniano usando el formalismo canónico. Primero, tome el Lagrangiano (usándolo en lugar de la densidad para que pueda tener la libertad de moverme hacia adelante y hacia atrás desde el espacio modal, también usando unidades de Heaviside-Lorentz con$\hbar=c=1$, y la firma métrica de los físicos de partículas$(+,-,-,-)$),

$$\begin{align} L & = \int \operatorname{d}^3x \left(\bar{\psi}\left[i\gamma^\mu D_\mu - m\right]\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \right) \\ & = \int \operatorname{d}^3x \left( \bar{\psi}\left[i\gamma^\mu D_\mu - m\right]\psi + \frac{1}{2} E_iE_i - B_iB_i \right) \\ & = \int \operatorname{d}^3x \left( \vphantom{\frac{1}{2}} \bar{\psi}i\gamma^0\partial_0\psi + \bar\psi i \gamma^i D_i \psi - m\bar{\psi}\psi - e \phi \bar{\psi}\gamma^0\psi \right. \\ & \hphantom{=\int \operatorname{d}^3x}\ \ \left. + \frac{1}{2}\left[-\partial_i\phi-\partial_0A_i\right] \left[-\partial_i\phi-\partial_0A_i\right] - \frac{\epsilon_{ijk}\epsilon_{inm}}{2} \partial_jA_k \partial_nA_m \right). \end{align}$$ La razón para expandir los productos internos covariantes es hacer explícito el siguiente paso: definir los momentos conjugados canónicamente. $$\begin{align} \pi_\psi &\equiv \frac{\delta L}{\delta \partial_0 \psi} = \bar{\psi}i\gamma^0 = i\psi^\dagger \\ \Pi_i &\equiv \frac{\delta L}{\delta \partial_0 A_i} = \partial_i\phi + \partial_0 A_i \\ \Pi_\phi &\equiv \frac{\delta L}{\delta \partial_0 A_0} = 0 \end{align}$$ Observe cómo el momento se conjuga canónicamente a $\phi=A_0$no aparece en el lagrangiano. Esto significa que, sin fijación de calibre, $\phi$es un campo no dinámico que no tiene impulso. En la física clásica, juega el rol de un multiplicador de Lagrange que impone $\rho - \nabla\cdot\mathbf{E}= e\bar{\psi}\gamma^0\psi + \partial_i \Pi_i =0$, la primera de la ecuación de Maxwell.

Ahora,$H$Se define como

$$\begin{align} H &= \int \operatorname{d}^3x \left[\pi_\psi \partial_0\psi + \Pi_i \partial_0 A_i\right] - L \\ &= \int \operatorname{d}^3x \left[ \vphantom{\frac{\epsilon_i}{2}} \Pi_i (\Pi_i - \partial_i\phi) - \pi_\psi \gamma^0 \gamma^i D_i\psi -i m\pi_\psi \gamma^0\psi - ie\phi\pi_\psi \psi \right. \\ &\hphantom{= \int \operatorname{d}^3x}\ \ \left.- \frac{1}{2} \Pi_i \Pi_i + \frac{\epsilon_{ijk}\epsilon_{inm}}{2}\partial_jA_k \partial_nA_m \right]. \end{align}$$ Observe que el término que contiene la derivada temporal de $\psi$desaparece por completo porque la ecuación de Dirac es de primer orden en el tiempo, por lo que todas las derivadas temporales necesarias son proporcionadas por las ecuaciones canónicas de movimiento.

Ahora movemos las partes invariantes de calibre del campo electromagnético al espacio modal (transformada de Fourier sobre el espacio, pero no sobre el tiempo) para resaltar alguna estructura interesante en el hamiltoniano.

$$\begin{align} H & = \int \operatorname{d}^3k \left[ \frac{1}{2}\Pi_i\Pi_i + \frac{k^2}{2} \left(\delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{k^2}\right)A_iA_j \right] \\ &\hphantom{=}+\int \operatorname{d}^3x \left[- \pi_\psi \gamma^0 \gamma^i D_i\psi -i m\pi_\psi \gamma^0\psi - ie\phi\pi_\psi \psi - \Pi_i\partial_i\phi \right] \\ &= \int \operatorname{d}^3k \left[ \frac{k_ik_j}{2 k^2}\Pi_i\Pi_j + \frac{1}{2} \left(\delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{k^2}\right)\left(\Pi_i\Pi_j + k^2 A_iA_j\right) \right] \\ &\hphantom{=}+\int \operatorname{d}^3x \left[- \pi_\psi \gamma^0 \gamma^i D_i\psi -i m\pi_\psi \gamma^0\psi - ie\phi\pi_\psi \psi + \phi \partial_i \Pi_i\right] \end{align}$$ Tenga en cuenta que el impulso del campo electromagnético, $\Pi_i$, es calibre invariante (es solo $-E_i$). La cantidad $\left(\delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{k^2}\right)A_j$también es invariante de calibre, ya que es la transformada de Fourier de la parte solenoidal de $A_i$; en otras palabras, el propósito de esa última línea era recolectar los componentes solenoidales del campo electromagnético (los fotones) y mover la derivada de $\phi$a $\Pi_i$en ese término. El término cinético longitudinal, $\frac{k_i k_j}{2k^2}\Pi_i\Pi_j$, también está muy bien aislado.

También es interesante notar que los únicos términos que no son manifiestamente invariantes de calibre son

$$-ie\phi\pi_\psi \psi + \phi \partial_i \Pi_i = e\phi\bar{\psi}\gamma^0\psi - \phi\partial_i E_i,$$ que se anula por las ecuaciones de movimiento. Me parece probable que se trate de estos términos de una manera canónica que conduce al requisito de fijación de medidas y restricciones.