Demostrar que f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R} no es inyectiva por el teorema de la función inversa

Estoy demostrando que un$C^r$función$f:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R}$no es inyectable. He visto varias soluciones pero quiero probarlo usando técnicas relacionadas con el teorema de la función inversa; porque es un problema del texto de Spivak "Callculus on Manifolds" en el capítulo sobre el teorema de la función inversa.

he encontrado una funcion$g:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R^2}$definido como$g(x,y)=\bigg(f(x,y),y\bigg)$, y probado que es$C^r$. Para probar mi principal problema, estoy asumiendo$f$es inyectiva, y eso me permite aplicar el teorema de la función inversa a$g$, de tal manera que me da un mapa abierto de un conjunto abierto en el dominio de$g$a la imagen abierta de$g$, tal que$g$tiene un inverso diferenciable$g^{-1}:g(A)\rightarrow A$.

Ahora quiero probar una contradicción en la inyectividad de$f$, al mostrar que$g^{-1}$no está definido en ciertos puntos, específicamente una línea, y esto contradice la diferenciabilidad de$g^{-1}$. Considerar$f(x,y)=b$entonces$g(x,y)=(b,y)$, Ahora debería poder encontrar que la línea que$g^{-1}$no está definido en$\forall (b,z)$,$z\neq y$, ya que eso implicaría que$f(x,z)=b$.

Mi pregunta no veo muy bien cómo$g^{-1}$siendo definido en$(b,z)$implica que$f(x,z)=b$? $\phantom{}$

Aquí está el problema original. He visto otras soluciones sugieren hacer$g$satisfacer las condiciones de$f$de$2$-$36$, por eso lo dejé.

¡Gracias!