Un problema con QED

Debes tener en cuenta que$\bar{\psi}\gamma^0\psi=u^2-v^2$, que es positivo para partículas y negativo para antipartículas.

Uno tiene que hacer una distinción de casos: 1) Estados ligados y 2) Dispersión de partículas libres.

1. Estados unidos:

Como ya se observó, las soluciones de energía positiva y negativa se acoplan al mismo acoplamiento.$e$con el mismo signo, es decir, ambos describen electrones. Entonces, si uno quiere describir los positrones en un estado ligado, debe usar la solución conjugada cargada:

dónde$C$es la matriz de conjugación de carga que puede variar según la representación del espinor de Dirac. En una de las representaciones más simples es

La conjugación de carga convierte soluciones de electrones de energía negativa en soluciones de positrones de energía positiva.

2. Dispersión

Para la descripción de la dispersión el formalismo de$2^{nd}$Se puede utilizar la cuantificación. En este caso la solución de la ecuación de Dirac$\psi$se considera como un operador (de campo)$\hat{\psi}$actuando sobre el espacio de Fock:

dónde$a^s_\mathbf{p}$y$b^{s\dagger}_\mathbf{p}$son operadores de aniquilación para electrones y operadores de creación para positrones. En realidad, eligiendo como "coeficiente" de la solución de energía negativa$v(p)$un operador de creación (tenga en cuenta que un operador de aniquilación sería la otra opción) hace que la solución correspondiente$v^s(p)$a una partícula saliente (de diferente tipo, porque es otro operador ($b$) y no un$a$-operador) que luego puede interpretarse como en el tiempo hacia atrás corriendo "entrante" --- es decir, desde el futuro hacia la presencia --- electrón que puede, en virtud de la interpretación, verse como un positrón saliente. El formalismo de$2^{nd}$la cuantificación en combinación con los diagramas de Feyman lo hace posible. Las reglas de los diagramas de Feynman deben aplicarse estrictamente. En particular, la dispersión de positrones se describe en este formalismo como ($p$es el 4-momento de la partícula entrante, mientras que$p'$es el 4-momentum de la partícula saliente dispersada).

dónde$\bar{v}(p)$describe el "positrón" entrante y$v(p')$el "positrón" saliente, mientras que en el caso de la dispersión de electrones, la corriente de dispersión se ve así:

es decir, el electrón entrante se describe mediante$u(p)$y el electrón saliente disperso descrito por$\bar{u}(p')$, es decir, las posiciones de$u$y$v$en la corriente se intercambian. Por lo tanto soluciones$v(p)$no son genuinas -- digamos --- partículas con carga positiva. Las partículas genuinas con carga opuesta tendrían la misma corriente de dispersión que la corriente de electrones.$\bar{u}(p')\gamma^\mu u(p)$(Piense en los quarks arriba y abajo, ambos descritos por la ecuación de Dirac, pero son de signo opuesto (carga) y no un par partícula-antipartícula).

De hecho, también es posible usar una descripción que involucre el operador de conjugación de carga$C$para describir corrientes de dispersión, pero en el formalismo descrito anteriormente de$2^{nd}$la cuantificación de la misma se puede lograr mucho más fácil.

La interpretación de Feynman de las soluciones de energía negativa como positrones ha prevalecido con tanta fuerza que la mayoría de la gente considera$v(p)$como soluciones de positrones, pero no las hay. Son soluciones de electrones de soluciones de energía negativa (o frecuencia), porque se acoplan con la misma constante de acoplamiento al campo EM que las soluciones de energía positiva.

Finalmente, diría que la ecuación de Dirac no es problemática, solo hay que manejar la información que proporciona de manera adecuada.

Ver también mi publicación ¿La ecuación de Dirac pone la carga y el giro en la misma posición?

obtenemos que tanto las partículas como las antipartículas crean el mismo potencial eléctrico

No, no lo hacemos. La ecuación de Dirac de una partícula es problemática, por lo que necesita algunos ajustes. O asumes que los componentes del espinor de Dirac son Grassmannianos (o satisfacen las relaciones canónicas de anticonmutación), o dices que las antipartículas no son estados de energía negativa sino agujeros en el mar de estados de energía negativa.