Álgebra de supersimetría

Question

Álgebra de supersimetría

Alumno

Deja el $i=x,y,z$ Los componentes del momento angular tienen relaciones de conmutación con los generadores de supersimetría (¿también llamados supercargas?) $Q_a$ ( $a = \pm \frac{1}{2}$ ) como, $[J_i , Q_a] = -\frac{1}{2} (\sigma _i )_{ab}Q_b$ . Ahora si quiero calcular el $J^2$ valor propio de $Q_a$ entonces podría haber pensado en hacer el siguiente cálculo usando las propiedades del corchete de mentira (usando la convención de suma)

$[J_i^2,Q_a] = J_i[J_i,Q_a] + [J_i,Q_a]J_i = -\frac{1}{2} (\sigma_i)_{ab}\{ J_i, Q_b \}$

¡Pero esta es aparentemente la respuesta incorrecta!

La respuesta correcta se obtiene haciendo el siguiente cálculo donde por la acción de $J^2$ en $Q_a$ se define como (usando la convención de suma)

$[J_i,[J_i,Q_a]] = [J_i,-\frac{1}{2} (\sigma _i )_{ab}Q_b] = -\frac{1}{2} (\sigma _i )_{ab} [J_i, Q_b] = \frac{1}{4} (\sigma _i)_{ab} (\sigma _i)_{bc} Q_c = \frac{3}{4}Q_a$

Me gustaría saber por qué la anterior es la acción correcta y no la primera.

Pero cuando digamos que uno quiere evaluar la acción de una sobrecarga en el cuadrado de, digamos, el componente escalar de un supercampo quiral, entonces la acción correcta es del tipo anterior, es decir,

$[Q,\phi ^2] = \phi [Q,\phi] + [Q,\phi]\phi$

No entiendo por qué aquí lo que antes estaba "mal" ahora es lo correcto.

Cuando la supercarga actúa sobre el fermión, digamos $\psi$ luego en términos del campo auxiliar en el mismo multiplete (digamos $F$ ) la acción derivada por Weinberg en su libro es,

$\{ Q_b, \psi_a^*\} =2i \delta _{ab}F^*$

Algunas personas me dicen que lo anterior no puede ser correcto porque el RHS no tiene la misma simetría espinorial que el LHS. También dicen que lo anterior implica que independientemente de la naturaleza de $F$ el RHS irá a $0$ si $a\neq b$ . Pero aparentemente se conocen teorías con superpotenciales en las que, incluso si los índices de espinor no coinciden, la supercarga tiene una relación anticonmutación no trivial con el fermión.

No veo nada malo en el argumento de Weinberg y tampoco veo que Weinberg use ninguna suposición sobre el superpotencial al derivar lo anterior. Me gustaría saber cuál es la forma correcta de pensar sobre lo anterior.

Si $A$ es el componente de campo de calibre de un supercampo vectorial y el supercampo quiral al que se acopla tiene $\phi$ y $\psi$ como componentes escalares y espinores, entonces lo siguiente parece ser cierto,

$[Q,A] = [\phi, \psi]$

Me gustaría saber si hay un argumento general para lo anterior y si siempre es cierto. Y también cuál es el espacio en el que se definen los conmutadores anteriores en ambos lados.

Respuestas (2)

Álgebra de supersimetría

Marek · Answer 1

Marek

La respuesta a la primera pregunta es que está utilizando una definición incorrecta del operador Casimir. El operador Casimir se define como $\sum_i X_i^2$ pero el $X_i$ deben entenderse como generadores de la representación dada. En tu caso $J_i \neq X_i$ . Eso es porque estás actuando sobre operadores, no solo sobre vectores. Los generadores de la acción sobre los operadores son $X_i = [J_i, \cdot]$ . Esta es la representación adjunta de la habitual $J_i$ (que actúa de la manera que sugirió solo en vectores). Entonces ves que la definición correcta del operador Casimir en este caso es el de doble conmutador.

Ahora, no veo qué relación $[Q,\phi^2]$ tiene que ver con lo anterior. Es un cálculo completamente diferente.

No puedo decir nada sobre las últimas dos preguntas, pero parecen completamente desconectadas de las dos primeras. Le sugiero que pregunte estas cosas por separado para la próxima vez.

Alumno

@Marek Gracias por tu respuesta. ¿Puede dar algunas referencias a este punto que está haciendo que el operador de Casimir no se debe considerar como el cuadrado de los generadores sino como el generador actuó dos veces? No me he encontrado con esta diferencia antes y, por lo tanto, estoy un poco desconcertado. Sería genial si puedes dar alguna referencia.

Marek

@Anirbit: bueno, sigue siendo un cuadrado. Pero hay que recordar que es un operador, por lo que la multiplicación viene dada por composición. Entonces

X_{i}^{2} = [J_{i}, [J_{i}, \cdot]]

$X_i^2 = [J_i, [J_i, \cdot]]$ . Cuesta un poco acostumbrarse, pero es parte del tratamiento estándar de la teoría de grupos de las representaciones adjuntas . Cada álgebra de mentira

g

$\mathfrak g$ tiene una fiel representación adjunta

a d : g \to E n d (g), X \mapsto [X, \cdot]

${\rm ad}: {\mathfrak g} \to End({\mathfrak g}), X \mapsto [X, \cdot]$ que proporciona una representación de los elementos (considerados como vectores) en términos de operadores que actúan sobre el álgebra subyacente.

Alumno

@Marek El álgebra de mentira del momento angular si actúa sobre sí mismo por la representación adjunta, entonces puedo ver fácilmente lo que está diciendo. Pero, ¿por qué el álgebra de Lie del momento angular debería actuar sobre el álgebra de supersimetría mediante la acción adjunta? ¿Por qué el conmutador doble es lo correcto? ¿Hay una derivación para esta acción o es una definición hecha a mano? Sería útil si pudiera indicar la acción de este Casimiro sobre el operador de supersimetría en el lenguaje de los mapas entre espacios.

Marek

@Anirbit: porque simplemente no hay otra forma de actuar. Podrías sugerir simplemente multiplicación pura

J_{i} Q

$J_i Q$ pero esto obviamente no es acción de un álgebra de mentira porque

[J_{i}, J_{j}] Q = J_{i} J_{j} - J_{j} J_{i} Q \neq J_{i} J_{j} Q

$[J_i,J_j] Q = J_i J_j - J_j J_i Q \neq J_i J_j Q$ . La única forma en que puede obtener una acción real es mediante el uso de

[J_{i}, \cdot]

$[J_i, \cdot]$ (que funciona gracias a la identidad de Jacobi). ¿Está al menos familiarizado con los operadores de tensor? Es lo mismo. P.ej

X

$\mathbf X$ (operador de posición en QM) se transforma como un vector bajo

S O (3)

$SO(3)$ porque

[J_{i}, X_{j}] = i ε_{i j k} X_{k}

$[J_i, X_j] = i \varepsilon_{ijk} X_k$ . Esto es nuevamente acción por conmutador. (continuación)

Marek

Quizás la acción grupal debería parecer más familiar:

U (g)^{- 1} X_{k} U (g) = \sum_{l} R (g)_{l k} X_{l}

$U(g)^{-1}X_kU(g) = \sum_l R(g)_{lk} X_l$ . Una vez más, no hay otra forma de que el grupo actúe sobre los operadores que simplemente mediante la conjugación (a menos que haya más estructura presente en el grupo; pero esta es la única acción genérica). Cuando diferencie esta acción, obtendrá conmutadores.

Alumno

@Marek Gracias por las explicaciones. Ya había escrito una posible forma de actuar del Casimiro (el primer cálculo que es "erróneo"). Esa sería la forma más natural de actuar si pienso en

J_{i}^{2}

$J_i^2$ como un producto de los operadores. Solo estaba usando la identidad de corchete de mentira habitual

[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B

$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$ . La pregunta es por qué la forma anterior de actuar de Casimiro es incorrecta o incluso pensar en ella.

Marek

@Anirbit: una vez más, el operador Casimir siempre se define como

X_{i}^{2}

$X_i^2$ dónde

X_{i}

$X_i$ son generadores de álgebra de mentira.

X_{i} = [J_{i}, \cdot]

$X_i = [J_i, \cdot]$ entonces esto significa que

X_{i}^{2} \cdot A = [J_{i}, [J_{i}, A]]

$X_i^2 \cdot A = [J_i, [J_i, A]]$ . Esto es obviamente diferente de

[J_{i}^{2}, A]

$[J_i^2, A]$ y eso debería ser suficiente para convencer de que lo que construiste es solo un operador, pero definitivamente no es el operador Casimir de la representación dada por

X_{i}

$X_i$ .

Alumno

@Marek Gracias por las explicaciones. Supongo que la moraleja es que, dada una representación, se define que Casimiro realiza la acción (que define la representación) dos veces. En este caso, el álgebra de Lie actúa sobre sí misma mediante la acción adjunta y, por lo tanto, el operador de Casimir está realizando la acción adjunta dos veces. Uno está acostumbrado a actuar el momento angular en "estados" como

J_{i} | l, m >

$J_i \vert l,m>$ y por lo tanto el Casimiro allí es en realidad el cuadrado del operador

J_{i} J_{i} | l, m >

$J_i J_i \vert l,m>$ . Y de ahí la confusión. Estoy buscando una buena exposición sobre la noción de operadores de Casimir y no he encontrado ninguna.

Marek

@Anirbit: precisamente, me alegro de que tenga sentido. En cuanto a los operadores de Casimir, no estoy seguro. No los encontrará en un solo lugar, pero generalmente se discuten en cualquier libro sobre teoría de la representación. Es posible que desee echar un vistazo a esta colección de libros y ver sus índices: physics.stackexchange.com/questions/193/…

Alumno

@Marek, al menos he visto partes de Fulton, Harris y Humphreys en esa lista, pero no creo que ninguno de ellos tenga nada sobre el operador Casimir. Es muy extraño que la mayoría de mis amigos matemáticos profesionales (¡incluso aquellos que están trabajando en la teoría de la representación!) se queden en blanco cuando se les pregunta sobre el Casimir. De alguna manera es muy oscuro para ellos.

Marek

@Anirbit: de hecho, eso se debe a que los operadores de Casimir no son parte de la imagen lineal básica , ya que son cuadráticos en los generadores. Lo que usan los matemáticos para caracterizar sus irreps es la teoría del mayor peso . Pero esta teoría es un poco abstrusa y creo que muchos físicos no la han aprendido del todo (o tal vez ni siquiera han oído hablar de ella). De todos modos, intentaré recordar dónde aprendí sobre el operador Casimir. Pensé que debía ser uno de esos libros pero no estoy seguro :/

Marek

Para empezar, prueba la página de wikipedia (si aún no lo has hecho): en.wikipedia.org/wiki/Casimir_invariant Se ve bastante bien. Incluso menciona el álgebra envolvente universal (estructura en la que considera todas las potencias de los generadores, no solo cuadráticos).

Motl de Luboš · Answer 2

Estimado Anirbit, la acción de los generadores de simetría, como $Q$ - on operadores siempre viene dado por el conmutador (o anticonmutador, tanto con Grassmann-impar) del generador de simetría con el operador.

Entonces $Q$ y $J_i$ actuar sobre los estados como

| ψ ⟩ \to q | ψ ⟩, | ψ ⟩ \to j_{i} | ψ ⟩,

$|\psi\rangle \to Q|\psi\rangle, \quad |\psi\rangle \to J_i|\psi\rangle, \quad$ pero actúan sobre los operadores

M

$M$ como

METRO \to [q, METRO]_{\pm}, METRO \to [j_{i}, METRO] .

$M \to [Q,M]_{\pm}, \quad M \to [J_i,M]. \quad$ cuando preguntas como

J^{2} = J_{i} J_{i}

$J^2=J_i J_i$ actúa sobre

Q

$Q$ , debes apreciar eso

Q

$Q$ es un operador. Así que el factor correcto de

J_{i}

$J_i$ actúa sobre él como un conmutador. El resultado es

[J_{i}, Q_{a}]

$[J_i,Q_a]$ que sigue siendo un operador, por lo que el factor de la izquierda

J_{i}

$J_i$ todavía actúa sobre él como un conmutador, por lo que el resultado es un conmutador doble sumado

i

$i$ .

$[Q,\phi^2]$ puede interpretarse como una acción del generador de simetría $Q$ en el operador $\phi^2$ . Tenga en cuenta que en este caso, es el "operador genérico", el jugador correcto, el que se eleva al cuadrado mientras que el generador de simetría, $Q$ , no está al cuadrado. Por lo tanto, no se producirán conmutadores dobles en este caso. Después de todo, la identidad de $[Q,\phi^2]$ que escribiste no es otra cosa que la regla de Leibniz. La regla de Leibniz siempre es correcta y no depende de ninguna definición de "qué entendemos por transformación de algo en algo".

Diferentes preguntas tienen diferentes respuestas.

La segunda pregunta. Weinberg está utilizando un formalismo basado en matrices en el que todos los índices de espinor de 2 valores se denotan con la misma letra (sin letras punteadas) y siempre se escriben como subíndices. Véase la página xx, Notación, del volumen 3 del libro de Weinberg. Eso es muy diferente de la notación similar a Penrose que preferiría en la que uno distingue no solo dos sino cuatro tipos diferentes de índices de espinor: inferior y superior, punteado y sin punto.

En el formalismo de Penrose, $\delta_{ab}$ no existe como un invariante. La versión correcta de Penrose de la ecuación que mencionas tendría uno de los índices $a,b$ elevado - por lo que habría $\delta^a_b$ o viceversa - o habría $\epsilon_{ab}$ si ambos índices se mantuvieran como subíndices (el aumento y la disminución de los índices de 2 valores se realiza mediante $\epsilon_{ab}$ que es antisimétrica). No hay contradicción cuando se trata de la antisimetría en $ab$ . En particular, no es cierto que $\{Q_b,\psi^*_a\}$ es $ab$ -simétrico porque $Q$ no es la misma letra que $\psi$ , por lo que al intercambiarlos, ¡no obtienes lo mismo de vuelta!

En su tercera pregunta, la identidad claramente pierde algunos índices y sumas sobre ellos, y no ha mencionado que puede haber usado las ecuaciones de movimiento en algún momento (de lo contrario, no tengo idea de cómo podría ocurrir un supercampo quiral completamente diferente en el variación SUSY de un supercampo vectorial). No puedo responder a esta pregunta, que es demasiado esquemática como se indicó, pero supongo que apareció en su intento de comprender los términos D.

Sin embargo, a nivel esquemático, la supercarga, cuando se escribe como un operador en términos de campos (integral de su densidad), contiene términos del tipo $\int \psi \partial_0 A \phi$ de las derivadas covariantes, y cuando se conmuta con $A$ , $\partial_0 A$ cancela y nos quedamos con el $\psi\phi$ términos - con una dependencia de los índices de color que se escribió como conmutador (solo funciona para la representación adjunta).

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