Reducción dimensional de 3+13+13+1 a 2+12+12+1 para N=2N=2\cal{N}=2 supercampo vectorial

Estimado Anirbit, esta es una gran cantidad de preguntas explícitas e implícitas, algo elementales, incrustadas en una copia de una derivación bastante técnica que no parece ser importante para sus preguntas "primarias" reales. Es difícil ver cuáles son realmente tus preguntas porque pareces estar escondiéndolas en el formalismo enrevesado. Pero veo los siguientes:

La forma particular de las matrices gamma es crucial, ¿no es así?

No, la forma particular de las matrices gamma nunca es crucial para la física. Por supuesto, si desea estar de acuerdo con valores particulares de componentes o entradas de matriz que alguien más haya derivado, debe usar la misma convención para las matrices gamma (y otras cosas). Pero si desea obtener una idea física, puede elegir cualquier base de las matrices gamma. Las derivaciones se relacionarán mediante una conjugación trivial de matrices, o cambios de signo si se eligen diferentes convenciones para la métrica, etc.

Lo siento, esta no es realmente una pregunta sobre representaciones de álgebras de supersimetría 3D. Es una pregunta básica sobre la diferencia entre la física y las convenciones sociales. Mi respuesta sería idéntica en cualquier otro contexto en el que hablemos de convenciones. Cualquiera que haya escuchado o leído al menos 10 minutos de una conferencia sobre matrices gamma debe saber que existen diferentes formas de representarlas y todas pueden usarse para hacer física.

¿Cómo se deriva el contenido de campo de un supermultiplete?

Se toma un estado del multiplete y se actúa con él subiendo y/o bajando generadores de supersimetría -aquellos que aumentan o disminuyen algún$U(1)$cargos por$\pm 1/2$. Algunos de ellos son aniquilados por los generadores de supersimetría. Se obtienen los giros de todos los estados en el multiplete. Entonces, también se puede intentar adivinar campos covariantes de Lorentz cuyas polarizaciones físicas coincidan con el espectro deseado de partículas físicas.

En$d=2+1$, el multiplete vectorial de$N=2$álgebra - que tiene 4 supercargas al igual que$N=1$en$d=3+1$- es sólo la reducción dimensional de la$N=1$ $d=4$multiplete en 3 dimensiones. Entonces, el multiplete vectorial se convierte en un vector y un escalar, uno de los componentes transversales se convierte en un escalar, mientras que el espinor de Majorana se convierte en un par de espinores en 3 dimensiones.

El multiplete quiral en$d=4$ $N=1$se reduce directamente a tres dimensiones. En cuatro dimensiones, uno tiene un escalar complejo y un espinor de Majorana. En tres dimensiones, esto se reorganiza como dos escalares reales y dos espinores reales de dos componentes; por lo tanto, el índice$k$de esos campos al principio de su texto.

¿Cómo se descomponen multipletes bajo reducción dimensional?

Primero, las supersimetrías mismas se transforman como espinores, por lo que uno descompone los espinores, por ejemplo, de$SO(2,1)$bajo la$SO(1,1)$subgrupo. Si uno elimina una dimensión del espacio-tiempo, el espinor de mayor dimensión siempre se convierte en el espinor de menor dimensión o su par. De manera similar, para una descomposición de un espinor de$SO(d)$bajo un máximo$SO(d_1)\times SO(d_2)$grupo, un espinor del primero se convierte en un producto tensorial de los espinores de los últimos grupos más pequeños, o en la suma directa de dos de esos productos tensoriales (hay que hacer un ejercicio simple sobre la quiralidad y/o realidad de los espinores).

Es difícil entender a partir de su texto si está familiarizado con estos hechos básicos sobre los espinores o no, es decir, si desea que se expliquen estas cosas o si es simplemente una pérdida de tiempo porque las conoce, o si está familiarizado con los mismos. hecho de que la mayoría de estas preguntas de "descomposición" y "reducción dimensional" se refieren a descomposiciones de representaciones de grupos de Lie y supergrupos bajo sus subgrupos. Si no es así, no debería haber comenzado con problemas técnicos oscuros como$N=2$multipletes vectoriales en tres dimensiones; deberías haber preguntado cuál es el procedimiento para reducir dimensionalmente una teoría. Pero uno debe enfocarse en tal pregunta, una pregunta a la vez. Simplemente se vuelve extremadamente confuso si una pregunta SE de física se compone de 10 de esas cosas.

Los escalares - singletes - siguen siendo escalares - singletes. Los vectores se descomponen en vectores más los singletes provenientes de las direcciones reducidas del espacio. Cuando uno sabe eso, es fácil determinar qué nombres usó para esos campos.

¿Por qué la teoría de Chern-Simons?

Porque la acción de Chern-Simons se puede escribir usando un campo de calibre 3D y es invariante de calibre e invariante de Lorentz. Sin embargo, esa no es la única acción que se puede anotar para un campo de indicador. La acción de Yang-Mills también puede estar supersimetrizada. Así que no es cierto que el$N=2$SUSY implica que el campo de calibre tiene que ser el de Chern-Simons (que no tiene polarizaciones físicas ya que la teoría es topológica). Pero la fuente que está leyendo simplemente estudió esta teoría, por lo que hizo las suposiciones necesarias para identificar el Lagrangiano en particular.

Conjugación hermitiana de matrices gamma

En algún momento, parece estar desconcertado por la relación que afirma incorrectamente que "solo se cumple para matrices 3D" de que la conjugación hermitiana es equivalente a (menos) la conjugación por la matriz gamma temporal.

En realidad, esto es válido en cualquier dimensión y en cualquier convención (¡natural!) en la que las matrices gamma se elijan como hermíticas o antihermíticas para las direcciones temporal y espacial, respectivamente. (Esta elección es necesaria porque las matrices individuales deben cuadrar a la matriz identidad positiva o negativa, dependiendo de si son de tipo espacial o temporal, porque se deriva de las relaciones anticonmutador de las matrices gamma y la firma de la métrica). No es difícil ver por qué. Los anti-hermitanos cambian el signo por la conjugación, que son justamente los que anti-conmutan con$\gamma_0$: tenga en cuenta que$\gamma_0$conmuta consigo mismo pero anticonmuta con otros, por lo que la conjugación por$\gamma_0$cambia el signo de los "otros".

De nuevo, no deberías estudiar supermultipletos oscuros en dimensiones oscuras si no entiendes lo que hacen las matrices gamma bajo la conjugación hermítica. Este hecho es un componente básico de cualquier curso de teoría cuántica de campos. De hecho, normalmente se discute en el contexto de la ecuación de Dirac (de una sola partícula) incluso antes de que los estudiantes comiencen con la teoría cuántica de campos. El tratamiento pedagógico habitual puede tener un$d=4$sesgo, por razones obvias, pero es cierto que las matrices gamma solo valen su nombre si se pueden usar arriba$d=2$o$d=3$, también: conociendo matrices gamma en$d=2$o$d=3$solo significa no conocer las matrices gamma en absoluto;$d=4$ya es lo suficientemente complicado como para que uno pueda adivinar cómo se generaliza a cualquier dimensión.

Debes haberte perdido todo esto de alguna manera. Nuevamente, le recomiendo algún curso básico sobre teoría cuántica de campos porque cubre todas esas preguntas o, menos naturalmente, una introducción matemática equivalente a las representaciones de los grupos de Lie.

La variación de los fermiones

La otra fórmula "misteriosa" para la variación de los bilineales fermiónicos es justamente la regla de Leibniz para la derivada de un producto (ahora, me encantaría creer que sabes diferenciar un producto, pero esta pregunta tuya - en la que no hizo un solo paso para reducir la pregunta a una más elemental, es decir, en la que realmente no aplicó ni siquiera la regla de Leibniz, redujo mi certeza incluso sobre este punto), combinado con el hecho de que los espinores en 3 dimensiones son reales, de modo que la conjugación de Dirac contiene efectivamente solo "transposición" y los dos términos de la regla de Leibniz son iguales, produciendo el factor de dos. Una vez más, no es gran cosa; es solo una simetría del producto interno de dos vectores reales (espinores) en este caso.$\bar\lambda \lambda$no desaparece para un fermiónico$\lambda$, porque están contraídos con un antisimétrico$\epsilon_{\alpha\beta}$de$SL(2,R)=Spin(2,1)$, se sigue que su variación tampoco puede ser cero. Entonces, el signo relativo debe ser más y el primer término de la regla de Leibniz debe duplicarse en lugar de cancelarse.

Es muy difícil responder a esas preguntas de manera significativa porque es una corriente de tecnicismos relativamente irrelevantes que no tienen nada que ver con las cosas "primarias" que parecen confundirte; combinado con sus opiniones y conjeturas que casi siempre son incorrectas (como conjeturas de que uno no puede usar bases diferentes); y errores tipográficos que hacen imposible una discusión técnica (por ejemplo, no hay "barra invertida 1" o "barra invertida 2" en TeX).