Conservación del momento angular - velocidad lineal

El momento angular de una sola partícula es metro r 2 ω , y su velocidad lineal es ω r . Suponer que metro = 1 , distancia desde el eje de rotación r = 1 y ω = 1 .

¿Qué sucede cuando la distancia desde el eje de rotación se reduce a r = 0.5 ? Esto es análogo a un patinador sobre hielo giratorio que tira de sus brazos hacia adentro, no hay una fuerza externa que cambie el momento de las partículas, por lo que el momento angular permanece constante. De acuerdo con la fórmula, significa que tiene que ser igual a 1 , y por lo tanto la velocidad angular será 4 veces la velocidad angular original ω . Además, la velocidad lineal de la partícula se duplicará.

¿Cómo es eso posible? ¿No contradice la ley que establece que si no hay una fuerza externa actuando sobre la partícula, su momento lineal debe permanecer constante?

Piensa en esto: ¿Cuánta fuerza se necesita para mantener el movimiento circular original? Entonces, ¿cómo se reduce el radio a 0,5?
¿Mantener? Supongo que cero. Para reducir el radio tengo que aplicar una fuerza que sea perpendicular al vector velocidad, y no tiene que ser una fuerza externa.
El movimiento circular requiere una fuerza dirigida hacia el centro, F C = metro r ω 2 . Además, piensa en la dirección en que se mueve la partícula a medida que cambia. r y si se realiza trabajo sobre la partícula. ¿Aumenta la energía cinética de la partícula?
Gira en espiral hacia adentro, supongo que su energía cinética tiene que aumentar, y explica por qué su velocidad lineal finalmente se duplica, pero realmente no veo por qué cambia debido a la espiral.
Bien, ¿aumenta la velocidad y, por lo tanto, la energía cinética de la partícula porque cuando se reduce el radio, la velocidad no es perpendicular al vector de fuerza y ​​provoca un cambio en la velocidad de la partícula?
No estoy seguro si está pensando en una partícula en movimiento circular restringido o en una partícula libre, ya que implica que no hay fuerza externa.
@ my2cts, ¿podría explicar la diferencia? ¿El movimiento circular restringido significa que la partícula orbita sin una fuerza centrípeta?
El movimiento restringido significa que la partícula se mantiene en una órbita circular por una fuerza externa.
Sí, eso es lo que quiero decir.

Respuestas (2)

Momento angular L es dado por:

L = r × PAG

Ahora el par τ actuar sobre un objeto viene dado por:

τ = d L d t
⇒ τ = d ( r × PAG ) d t
⇒ τ = r × F + v × PAG

Desde v y PAG están en la misma dirección por lo tanto

v × PAG = 0
es decir,
⇒ τ = r × F
Ahora como correctamente dices eso L es constante por lo tanto
τ = r × F = 0
Claramente desde r ≠ 0 entonces esto significa que F en todo instante apunta hacia el centro (es decir, decir que la línea de acción de la fuerza pasa por el centro). Tenga en cuenta que la fuerza no puede ser cero ya que siempre se requiere una fuerza centrípeta para mantener el movimiento circular.

Objeto cambiando su órbita

Ahora, como puede ver en la figura, durante la transición de la órbita exterior a la órbita interior, la fuerza y ​​el vector de velocidad tienen un ángulo agudo entre ellos, por lo tanto, la fuerza actúa para acelerar el objeto y, por lo tanto, aumentar su velocidad.

También debe tenerse en cuenta que para que se conserve el momento angular, la ausencia de fuerza no es un criterio necesario (por ejemplo, las órbitas elípticas de los planetas).

Con respecto al comentario:

Entonces, si calculé la velocidad de la partícula después de que el radio se redujo a 0.5 resultaría ser 2 v , dónde v es la velocidad original? ¿Hay alguna fórmula que pueda usar?

si como tu sabes eso

L = r × PAG
(1) L metro = r × v
Claramente después de que el radio se reduce a r ′ entonces la velocidad se convierte en v ′
(2) ⇒ L metro = r ′ × v ′

Por lo tanto de ( 1 ) y ( 2 ) (observando también que después de que la partícula entra en órbita, los vectores tienen 90 ° ángulo entre ellos)

⇒ v ′ r ′ = v r
Entonces
v ′ = v r r ′

Tenga en cuenta que esto se ha explicado en el siguiente video de Vsauce (la explicación comienza desde las 10:05 hasta las 13:15):

Entonces, si calculé la velocidad de la partícula después de que el radio se redujo a 0.5, resultaría ser 2 v , dónde v es la velocidad original? ¿Hay alguna fórmula que pueda usar?
@ user55 He modificado mi respuesta para acomodar su comentario.
En realidad, estaba pensando en una fórmula que no usa la conservación del momento angular. La regla de conservación es excelente porque simplifica los cálculos, pero estaba pensando cuánto más complicado sería si tuviera que calcular la nueva velocidad sin referirme a la ley de conservación del momento angular y calcular el componente de fuerza paralelo al vector de velocidad.
@ user5539357 puede hacer una pregunta por separado para eso.

Todo esto depende de lo que defina como una fuerza externa o, de manera equivalente, lo que es y no es parte de su sistema. Si su sistema es solo la partícula y nada más, entonces definitivamente hay una fuerza externa. De hecho, hay una fuerza externa incluso antes de que se reduzca el radio, a saber, la fuerza centrípeta que mantiene el movimiento circular de la partícula. Si su sistema es más que solo la partícula, entonces debe haber algo más en el sistema que proporcione tanto la fuerza centrípeta como cualquier fuerza requerida para disminuir el radio de rotación. En este caso, el momento total (angular y lineal) de todo el sistema se conserva, y cualquier momento que la partícula parezca haber ganado o perdido será igualado por una ganancia o pérdida igual y opuesta experimentada por el resto del sistema.

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