Cono giratorio: encontrar energía y momento

Si el cono está rodando, solo hay un grado de libertad. Usemos el ángulo$\varphi$ubicando el cono en el plano XY como se ve a continuación.

Una vez que obtenga todas las cantidades involucradas en un sistema de coordenadas común, es fácil combinarlas para obtener energía y cantidad de movimiento usando vectores y álgebra lineal.

1. Cinemática - Considere dos rotaciones secuenciales. Uno sobre el eje Z$\dot{\varphi}$y uno sobre el eje del cono$\dot{\theta}$.

   $$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega} & = \boldsymbol{\hat{k}} \dot{\varphi} + \mathrm{Rot}(\boldsymbol{\hat{k}}, \varphi) \boldsymbol{\hat{\imath}} \dot{\theta} \\ & = \pmatrix{0\\0\\1} \dot{\varphi} + \underbrace{ \left|\matrix{\cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1} \right| }_{{\small \mbox{rotation matrix, }}\mathtt{R}}\pmatrix{1 \\ 0 \\ 0} \dot{\theta} = \pmatrix{\dot{\theta} \cos\varphi \\ \dot{\theta} \sin\varphi \\ \dot{\varphi} } \end{aligned}$$

   _{La regla general para una secuencia de rotación a lo largo de los ejes.$\boldsymbol{z}_1$,$\boldsymbol{z}_2$... con ángulos$\theta_1$,$\theta_2$.. es}

   $$\boldsymbol{\omega} = \boldsymbol{z}_1 \dot{\theta}_1 + \mathrm{Rot}(\boldsymbol{z}_1,\theta_1) \left( \boldsymbol{z}_2 \dot{\theta}_2 + \mathrm{Rot}(\boldsymbol{z}_2,\theta_2) \left( \boldsymbol{z}_3 \dot{\theta}_3 + \ldots \right) \right)$$

   El centro de masa del cono se encuentra en$\frac{3}{4}h$desde el vértice, con coordenadas

   $$\boldsymbol{r}_C = \pmatrix{\frac{3}{4}h \cos\varphi \\ \frac{3}{4} h \sin\varphi \\ r}$$

   La velocidad del centro de masa es por diferenciación

   $$\boldsymbol{v}_C = \pmatrix{-\frac{3}{4}h \dot{\varphi} \sin\varphi \\ \frac{3}{4} h \dot{\varphi} \cos\varphi \\ 0} = \mathtt{R} \pmatrix{0 \\ \frac{3}{4} h \dot{\varphi} \\ 0}$$

2. Restricción de rodadura

   Llamé al punto de contacto A y encontré la velocidad del punto de contacto como

   $$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_A & = \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{r}_A - \boldsymbol{r}_C ) \\ & = (h \dot{\varphi}+r \dot{\theta} ) \pmatrix{-\sin \varphi \\ \cos \varphi \\ 0} \end{aligned}$$

   La restricción de no deslizamiento es por lo tanto$h \dot{\varphi}+r \dot{\theta}=0$o

   $$\dot{\theta} = -\frac{h}{r} \dot{\varphi}$$ y por tanto la velocidad angular $$\boldsymbol{\omega} = \pmatrix{-\frac{h}{r} \cos\varphi \\ -\frac{h}{r} \sin\varphi \\ 1 } \dot{\varphi}= \mathtt{R} \pmatrix{-\frac{h}{r}\\0\\1}\dot{\varphi}$$

3. Propiedades de masa : utilizando una referencia para las propiedades de masa, ensamblamos la matriz de momento de inercia de masa a lo largo del eje del cono en el centro de masa.

   $$\mathtt{I}_{\rm body} = \left| \matrix{ \frac{3}{10} m r^2 & & \\ & \frac{3}{20}m r^2 + \frac{3}{80} m h^2 & \\ & & \frac{3}{20}m r^2 + \frac{3}{80} m h^2} \right|$$

   y gírelo las coordenadas del mundo usando la siguiente regla

   $$\begin{aligned} \mathtt{I}_C = & \mathtt{R}\, \mathtt{I}_{\rm body} \,\mathtt{R}^\intercal \\ & = \left| \begin{array}{ccc} \frac{3\,m\,\left(h^2\,{\sin\left(\varphi \right)}^2-4\,r^2\,{\sin\left(\varphi \right)}^2+8\,r^2\right)}{80} & -\frac{3\,m\,\sin\left(2\,\varphi \right)\,\left(h^2-4\,r^2\right)}{160} & 0\\ -\frac{3\,m\,\sin\left(2\,\varphi \right)\,\left(h^2-4\,r^2\right)}{160} & \frac{3\,m\,\left(-h^2\,{\sin\left(\varphi \right)}^2+h^2+4\,r^2\,{\sin\left(\varphi \right)}^2+4\,r^2\right)}{80} & 0\\ 0 & 0 & \frac{3\,m\,\left(h^2+4\,r^2\right)}{80} \end{array} \right| \end{aligned}$$ dónde$\mathtt{R}$es la matriz de orientación 3×3 del cuerpo.

4. Momento : el momento lineal y angular se encuentran usando álgebra lineal

   $$\left. \begin{aligned} \boldsymbol{p} &= m \boldsymbol{v}_C \\ \boldsymbol{L}_C & = \mathtt{I}_C \boldsymbol{\omega} \end{aligned} \right\} \begin{aligned} \boldsymbol{p} &= \mathtt{R} \pmatrix{0 \\ m \frac{2}{3} h \dot{\varphi} \\ 0} \\ \boldsymbol{L}_C & = \mathtt{R} \pmatrix{-m \frac{3}{10} h r \dot{\varphi} \\ 0 \\ m \frac{3}{80} (h^2+4 r^2) \dot{\varphi} } \end{aligned}$$

5. Energía cinética : debe sumar los componentes de energía cinética lineal y angular definidos en una ubicación y orientación constantes. Por simplicidad, estoy eligiendo el centro de masa.

   $$\begin{aligned} K & = \frac{1}{2} \boldsymbol{v}_C^\intercal m \boldsymbol{v}_C + \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^\intercal \mathtt{I}_C \boldsymbol{\omega} \\ & = \frac{9 h^2 m}{32} \dot{\varphi}^2 + \frac{3 m (9 h^2 +4 r^2)}{160} \dot{\varphi}^2 = \frac{3 m (6 h^2 +r^2)}{40} \dot{\varphi}^2 \end{aligned}$$

Entonces, cuando se trata de dinámicas 3D, siempre trabaje con vectores y matrices para asegurarse de obtener todos los componentes correctamente. Si intenta resolverlo en un solo paso por inspección, fracasará. Tienes que ser muy preciso y detallado en la dinámica.