¿Conservación de energía o no? En un proceso que involucra capacitor

En mi libro de texto, hay una tarea siguiente (esa es mi traducción y puede que no sea 100% clara o precisa, así que no dude en solicitar aclaraciones adicionales)

Un capacitor plano, cargado con carga q , con placas conductoras de áreas iguales S , altura h y la distancia entre ellos d se colocó verticalmente, es decir, de manera que los bordes inferiores de los campos conductores tocan un fluido dieléctrico (es decir, agua, de densidad ρ y permitividad relativa ε r ). Cerca de los bordes del condensador, hay un campo eléctrico no homogéneo que hace que el fluido se polarice (es decir, las partículas del fluido se convierten en dipolos eléctricos inducidos). Uno de los polos de cada dipolo estará entonces en un campo eléctrico más intenso, lo que hace que el fluido sea "aspirado" hacia el interior del condensador (es decir, entre las placas).
cual es el cargo q , con el que debe cargarse el capacitor, de modo que el fluido llene todo el espacio entre las placas?

Luego, en mi libro de texto, se presenta la solución. Esta solución consiste en la aplicación de la ley de conservación de la energía:

q 2 2 C = q 2 2 ε r C + S d ρ gramo h 2

y encuentro esta solución absolutamente incorrecta. ¿Por qué? Considere el proceso de "succión" de agua en el condensador. Luego hay, dentro del capacitor, un campo eléctrico cambiante, que debería inducir un campo magnético cambiante y así sucesivamente. Por lo tanto, creo que la solución en mi libro de texto no considera la pérdida de energía debido a las ondas electromagnéticas emitidas. La respuesta, según mi libro de texto, es

q = S ε r ε 0 ρ gramo h ε r − 1

Personalmente, encontré otra solución. Si calculamos la energía total del sistema capacitor+agua, y luego establecemos d mi d y = 0 , entonces obtenemos

q = S ε r 2 ε 0 ρ gramo h ε r − 1
que difiere significativamente de la solución presentada en mi libro de texto.

¿Cuál es la solución correcta entonces? Y, si la solución presentada en mi libro de texto no exhibe la ley de conservación de la energía correctamente, entonces, ¿qué cambios deben hacerse para considerar la pérdida de energía debido a la emisión de ondas electromagnéticas?

No me queda muy claro por qué crees que el resultado de la computación d mi d y = 0 es significativo de alguna manera.
Como es otro método (presentado en numerosos conjuntos de problemas) para resolver problemas que involucran dieléctricos y capacitores, por ejemplo... Básicamente, es otro método para resolver el problema.
No hay y en la expresión de energía aquí. ¿Puedo suponer que su uso de d mi d y = 0 es lo mismo que d mi d h = 0 ?
Entonces, ¿planea introducir una corriente de desplazamiento?

Respuestas (3)

Descuidando por un momento su punto sobre las pérdidas por radiación electromagnética, confío en que esté de acuerdo en que la lógica del libro era, por lo demás, correcta para llegar a

q 2 2 C = q 2 2 ε r C + S d ρ gramo h 2
Algebraicamente, esto da, de hecho,

q = S ε r ε 0 ρ gramo h ε r − 1
Entonces, la respuesta del libro es correcta si el sistema no pierde energía.

Suponiendo que por d mi d y = 0 , te refieres a d mi d h = 0 , señalaría que el cambio de energía con respecto a la altura no es cero. Hay más energía entre las placas cuanto más alto subes. De modo que sus esfuerzos, por lo demás inventivos y respetables, lo llevaron al error. Es d mi d t que sería igual a cero ya que el agua sube entre las placas y se transfiere energía del campo eléctrico al campo gravitacional.

Finalmente, si considera las pérdidas electromagnéticas, creo que tiene razón en que la pérdida es una cantidad finita distinta de cero. El campo eléctrico está cambiando, y la tasa de cambio también cambia. Sin embargo, la pérdida sería extremadamente pequeña. El campo eléctrico está cambiando muy lentamente, y si oscilara continuamente a esa velocidad (que no es así), la onda sería de muy baja frecuencia. Las ondas de baja frecuencia, por supuesto, son ondas de baja energía. Además, la duración total de la radiación es bastante corta. Sería más correcto decir que se genera un pulso electromagnético que decir que se genera una onda electromagnética. Creo que los autores estaban en lo cierto al descuidarlo, pero tal vez deberían haberlo dicho, como hacen algunos autores en situaciones similares,

Para responder a su pregunta final, se tendría que agregar a la ecuación un término dependiente del tiempo. Francamente, no sé cuál sería ese término sin investigarlo.

"la respuesta del libro es correcta"... Disculpe, ¡pero esa es otra respuesta absolutamente inútil! La energía es OBVIAMENTE perdida. Para enfatizar este punto, otros ejercicios en el libro de texto dicen ESPECÍFICAMENTE que una parte de la energía se perdió debido a la emisión, por lo que al menos es inconsistente en este caso. Además, déjame decirte algo: una vez hubo una tarea en nuestra Olimpiada Nacional de Física. Y en las soluciones...
¡Guau! Hubo EXACTAMENTE EL MISMO razonamiento que el mío (con respecto a la derivada de la energía), diferente solo por el hecho de que había una placa dieléctrica sólida en lugar de agua, pero esa no es una gran diferencia, ¿verdad?
Y perdemos una porción de energía no trivial y absolutamente no despreciable.
Ni su solución ni las cuentas del libro para la energía electromagnética pierden, y usted preguntó qué solución sobre esa base era la correcta. La respuesta es que, sobre esa base, la solución del libro es correcta y la tuya es incorrecta, y te dije por qué. Su siguiente pregunta fue Si el libro no manejaba la conservación de la energía correctamente, ¿cómo podría cambiarse? Respondí eso también, de una manera respetuosa de sus esfuerzos. Pero al parecer, cualquier respuesta que no diga que estás 100% en lo cierto no te sirve de nada.

La respuesta correcta es la del libro. Este nivel de descripción es electrostático, no más allá de eso.

Puede ver en las leyes de Maxwell, las contribuciones del campo magnético entran cuando el campo eléctrico no es conservativo (-> no irrotacional). Este no es el caso, de lo contrario ni siquiera podría considerar el potencial V. De hecho, un campo vectorial conservativo es el gradiente de una función escalar y un campo vectorial conservativo es siempre irrotacional.

Tal vez esté confundiendo un campo eléctrico espacialmente no homogéneo con un campo eléctrico que cambia en el tiempo.

Al principio pensé que tu pregunta era completamente falsa, pero después de pensarlo, estoy empezando a pensar que tanto el libro como tú tienen razón. Sin embargo, el libro probablemente no tenía la intención de hacerlo tan complicado, por lo que en realidad es un error en el libro.

Vayamos a la física. la energia total mi t o t es la suma de la energía eléctrica en el capacitor mi C y la energía gravitacional del fluido mi gramo . Ambas energías dependen del nivel de líquido. y . El nivel del fluido será forzado hacia arriba siempre que la reducción de la energía eléctrica compense el aumento de la energía gravitacional. El nivel del líquido tiene un punto estable cuando d mi C d y = − d mi gramo d y , en otras palabras cuando d mi t o t d y = 0 .

De la pregunta no queda completamente claro si el capacitor se carga primero y luego se pone en contacto con el fluido o se carga lentamente, mientras está en contacto con el fluido. Voy a considerar ambos casos.

Para el caso de carga lenta, el sistema está constantemente en equilibrio al nivel de fluido dado por d mi t o t d y = 0 . A la carga que calculaste, el fluido llegará a la parte superior del capacitor.

Luego, el caso de cargar primero y luego contactar con el fluido. Aquí el sistema comienza fuera de equilibrio. Si no suponemos pérdidas de energía, el fluido se acelerará hacia el nivel de equilibrio. Sin embargo, debido a la energía cinética del fluido, pasará este nivel de equilibrio y aumentará aún más. El nivel de líquido volverá a caer y oscilará alrededor del nivel de equilibrio. La respuesta en el libro da la carga para la cual el nivel más alto de la oscilación llega justo a la parte superior del capacitor (cuando la energía cinética es cero).

En la práctica, las oscilaciones se amortiguarán y el sistema se estabilizará en el nivel de equilibrio. La causa principal del amortiguamiento será la viscosidad y la fricción del fluido. En teoría, si no hubiera amortiguación mecánica, el sistema podría amortiguarse emitiendo radiación EM de muy baja frecuencia. Sin embargo, en la práctica este efecto es completamente despreciable.

Para concluir, el libro está mayormente equivocado, tú tenías mayormente razón. Tenga en cuenta que probablemente habría tenido una respuesta más rápida si hubiera explicado correctamente lo que quería decir con dE/dy. Además, sus respuestas a la respuesta de D.Ennis son completamente inapropiadas y casi me hacen decidir no escribir esta respuesta. Sin embargo, el sorprendente hecho de que por una vez el libro está realmente equivocado, me hizo escribirlo de todos modos.

Creo que encontrará que es dEtot/dt que es igual a cero, no dEtot/dy.
¿Conservación de energía o no? En un proceso que involucra capacitor
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