Campo eléctrico en un capacitor con un dieléctrico con permitividad variable

Question

Campo eléctrico en un capacitor con un dieléctrico con permitividad variable

Zórich

Considere el siguiente capacitor de placas paralelas, con una diferencia de potencial de $V$ a través de sus placas:

ingrese la descripción de la imagen aquí

He visto algunos problemas que asumen un dieléctrico con una permitividad eléctrica variable de

ϵ = ϵ_{0} (1 + \frac{z}{a})

$\epsilon=\epsilon_0\left(1+{z\over a} \right)$ o algo similar (pero una función de z) entre las placas.

Con estas permitividades variables, ¿cómo podemos, como de costumbre, aplicar condiciones de contorno y también usar la fórmula potencial que usamos para resolver problemas dieléctricos?:

V = \int_{z = 0}^{z = a} \vec{mi} . d \vec{yo}

$V=\int_{z=0}^{z=a} \vec{E}.d \vec l$

ϵ_{a b o v mi} {\vec{mi}}_{a b o v mi} . \hat{norte} - ϵ_{b mi yo o w} {\vec{mi}}_{b mi yo o w} . \hat{norte} = σ_{F r mi mi}

$\epsilon_{above}\vec{E}_{above}.\hat n-\epsilon_{below}\vec{E}_{below}.\hat n=\sigma_{free}$ o de manera equivalente, ¿cómo podemos encontrar el campo eléctrico entre las placas?

Ruslán

Trate de representar su dieléctrico como consistente en

n

$n$ capas de permitividad diferente (pero capa interior constante). Luego use las condiciones de contorno usuales entre estas capas y tome el límite

n \to \infty

$n\to\infty$ para obtener la ecuación final.

Respuestas (1)

Campo eléctrico en un capacitor con un dieléctrico con permitividad variable

Trate de representar su dieléctrico como consistente en $n$ capas de permitividad diferente (pero capa interior constante). Luego use las condiciones de contorno usuales entre estas capas y tome el límite $n\to\infty$ para obtener la ecuación final.

joshfísica · Answer 1

En todas partes dentro del dieléctrico, se cumple la siguiente ecuación (Ley de Gauss dentro de meadia)

\nabla \cdot D = ρ_{F r mi mi}, D = ϵ mi

$\nabla\cdot\mathbf D = \rho_\mathrm{free}, \qquad \mathbf D = \epsilon\mathbf E$ Dentro del dieléctrico no hay carga libre, entonces tenemos la ecuación

\nabla \cdot (ϵ mi) = 0, 0 < z < a

$\nabla\cdot(\epsilon\mathbf E) = 0, \qquad 0<z<a$ Ahora, recordemos la definición del potencial eléctrico;

mi = - \nabla V

$\mathbf E = -\nabla V$ que por lo tanto da

\nabla \cdot (ϵ \nabla V) = 0, 0 < z < a

$\nabla\cdot(\epsilon\nabla V) = 0, \qquad 0<z<a$ el problema es simétrico con respecto a las rotaciones alrededor

z

$z$ , entonces tomamos un ansatz

V (X, y, z) = v (z)

$V(x,y,z) = v(z)$ entonces la ecuación anterior da

\frac{d}{d z} (ϵ (z) \frac{d}{d z} v (z)) = 0, 0 < z < a

$\frac{d}{dz}\left(\epsilon(z) \frac{d}{dz}v(z)\right) = 0, \qquad 0<z<a$ Ahora, solo necesita resolver esta ecuación sujeta a las condiciones de contorno apropiadas

v (0) = 0, v (a) = V_{0}

$v(0) = 0, \qquad v(a) = V_0$ Una vez que tenga el potencial, puede obtener el campo eléctrico tomando el gradiente.

¡Muchas gracias! Un punto: parece que el DE final debería ser ${d\over dz}(\epsilon (z) {dv(z)\over dz})=0$ . Está bien ?
Y si mi ecuación en el comentario es la ecuación correcta, entonces no puedo encontrar el campo porque no tengo las condiciones de contorno necesarias para ${dv\over dz}$ .
Sí, eso fue un error tipográfico, gracias. La ecuación diferencial ordinaria de segundo orden resultante se puede resolver usando sus dos datos de límite. No necesita la derivada normal del potencial en el límite. Integre la ecuación una vez, luego use la separación de variables y luego integre nuevamente. Obtendrá dos constantes indeterminadas en la expresión resultante para $v(z)$ que se puede resolver usando los datos de los límites.

Campo eléctrico en un capacitor con un dieléctrico con permitividad variable

Zórich

Ruslán

Respuestas (1)

joshfísica

Zórich

Zórich

joshfísica

Intensidad de campo eléctrico en un dieléctrico dentro de un capacitor

¿Conservación de energía o no? En un proceso que involucra capacitor

Condensadores en un circuito en serie con dieléctrico

¿Cómo puedo encontrar el potencial creado por un capacitor esférico con material dieléctrico?

Energía potencial eléctrica de un conductor cargado

Losa dieléctrica insertada en un capacitor de voltaje constante

Campo dentro de un condensador de placa con un material dieléctrico

¿La carga ligada está definida en el infinito?

Distribución de carga en una placa de Condensador con Dieléctricos.

¿Cómo calcular el trabajo de las fuerzas electrostáticas en un condensador de placas paralelas?