Conservación de energía de las olas en un límite

Considere una onda que viaja en una cuerda con velocidad υ y densidad de masa ρ que tiene una unidad de longitud, de modo que la masa de la cuerda es ρ . Considerando la cuerda como un oscilador armónico simple de máxima amplitud A , sabemos que su energía total será E = (1/2) ρ ω 2 A 2 . La impedancia de la cuerda está dada por ρ C .

Ahora considere que esta onda incide en un límite donde esta cuerda está conectada suavemente (para que tengan la misma tensión) a otra cuerda de diferente impedancia en x = 0. Dejar Z 1 = ρ 1 C 1 = T / C 1 donde T es la tensión de la cuerda sea la impedancia de la cuerda a la izquierda del límite y Z 2 = ρ 2 C 2 = T / C 2 Sea la impedancia a la derecha de la frontera. La onda incidente procedente del lado izquierdo de la frontera está dada por y i = A 1 Exp( ω t - k 1 X ) y la reflejada viene dada por y r = B 1 Exp( ω t + k 1 X ) y la onda transmitida viene dada por y t = A 2 Exp( ω t - k 2 X ).

Ahora tengo las siguientes preguntas.

  • La onda a la izquierda ya la derecha del límite tendrá la misma frecuencia. ¿Cómo se puede asegurar esto física o matemáticamente?
  • Mientras averiguamos los coeficientes de reflexión y transmisión, usamos y i + y r = y t . No entiendo por qué la amplitud de la onda transmitida debe ser la suma de las ondas incidente y reflejada.
  • Mientras usamos esta matemática para explicar el sonido producido por el látigo, asumimos Z 2 = 0. Pero, ¿es esta explicación suficiente porque lo que básicamente Z 2 = 0 significa que no hay partículas a la derecha del límite. Entonces, ¿cómo viaja la onda? De acuerdo con las matemáticas anteriores, lo hará, pero la física sobre la que se construyó este concepto nos dice que si no hay partículas para transmitir ondas, entonces la onda no debería viajar. ¿Cuál es la explicación correcta?
  • Ahora, si trato de conservar energía en el límite, usando (1/2) ρ 1 ω 2 A 1 2 = (1/2) ρ 2 ω 2 A 2 2 + (1/2) ρ 1 ω 2 B 1 2 resulta que la energía no es constante pero la energía*velocidad es una constante. ¿Cómo se puede explicar esto y por qué la energía no es constante?

Además, esta pregunta al final podría no estar relacionada con la pregunta anterior, pero esto es algo que me he estado preguntando desde el comienzo del curso de ondas y vibraciones. ¿Por qué un sistema que contiene norte las partículas tienen exactamente norte modos normales? ¿Cuál es el significado exacto de un modo normal? ¿Puede alguien explicar física o matemáticamente la pregunta anterior?

Sé que la pregunta contiene muchas subpreguntas y no me importa que la gente responda alguna o todas las preguntas anteriores, pero necesito respuestas, por favor.

Respuestas (1)

  • Las frecuencias son las mismas a la izquierda y a la derecha del límite porque asume solo variaciones de tiempo sinusoidales ∝ Exp ⁡ ( i ω t ) con frecuencia angular ω .
  • Las cuerdas están conectadas en la unión. Por lo tanto, la coordenada y (alargamiento) de la cuerda izquierda y derecha tiene que ser la misma en la unión.
  • Suponiendo que el cruce esté en X = 0 , y que hay una onda incidente, una reflejada y una transmitida, las expresiones de onda exponencial dan para las amplitudes
    A 1 + B 1 = A 2
  • Este punto no está claro. ¿Por qué hablas del sonido de un látigo? ¿Quiere decir que no hay una cadena a la derecha ( Z 2 = 0 medio T 2 = 0 ) y supone un extremo abierto para la cadena izquierda? La pregunta entonces es cómo puedes obtener una ola cuando T 1 = T 2 = 0 y por lo tanto C 1 = 0 ?
  • La expresion
    ρ ω 2 A 2 = ρ v y 2
    corresponde a la energía (cinética+potencial) por unidad de longitud de onda. En el cruce, la suma de todas las ondas a la izquierda y a la derecha tienen la misma velocidad. v y pero diferente ρ (y diferente C ). Por lo tanto, las densidades de energía no pueden ser las mismas. Por otro lado, para la conservación de energía, la suma de los flujos de energía PAG de las olas (energía de las olas) tiene que ser conservada. PAG es energía transportada por tiempo PAG = C ρ ω 2 A 2 / 2 ,
Si las coordenadas y son las mismas entonces, ¿no debería ser A 1 = A 2 solo.
porque en X = 0 tienes una onda incidente con amplitud A 1 y una onda reflejada con amplitud B 1 , la amplitud total de la oscilación de la cuerda izquierda en X = 0 es A 1 + B 2 . Esto tiene que ser igual a la amplitud A 2 de la onda transmitida en X = 0 .
Entendí tu punto.
Y para el látigo, se considera que el lado derecho del límite tiene una impedancia cero, lo que implica un extremo libre y también que la densidad de masa lineal es cero a la derecha. Pero el lado izquierdo del límite todavía está presente y cuando haces los cálculos, nos dice que la amplitud de la onda transmitida es el doble de la onda incidente. Pero mi pregunta es, la física sobre la que hemos construido estos conceptos hasta ahora nos dice que la ausencia de partículas en el medio implica que la onda no puede viajar en el medio (porque la onda consta de infinitos osciladores armónicos simples). ¿Cómo se puede explicar esto?
Y para la conservación de la energía, ¿por qué tendrán la misma velocidad? ¿No debería ser diferente porque tienen amplitudes diferentes? Y mi pregunta es exactamente ¿por qué se conserva el flujo de energía y no la energía?
Si en la cadena correcta asumes ρ 2 → 0 entonces Z 2 = T 2 ρ → 0 y el coeficiente de reflexión se convierte en R = 1 y el coeficiente de transmisión se convierte en T = 2 . Así, la amplitud de la onda transmitida es, de hecho, el doble de la amplitud de la onda incidente. Sin embargo, la velocidad de onda de la cuerda derecha v 2 → ∞ lo que significa que la cuerda infinitamente ligera tiene una longitud de onda infinita. Debido a ρ v y 2 → 0 el flujo de energía se vuelve cero, lo que significa que no hay transporte de energía en esta onda.
La conservación de la energía es la conservación de los flujos de energía de las ondas. Las densidades de energía de las ondas no se conservan.
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