Conservación de energía cinética rotacional

Considere una cadena alrededor de dos engranajes, uno de radio r 1 y el otro de r 2 . decir el equipo r 1 está conectado a un dispositivo de rotación que entrega torque τ . Después de un cuarto de ciclo de rotación tienes energía de entrada mi = τ ⋅ π / 4 energía de rotación en el sistema.

Digamos que tienes el mismo sistema pero esta vez engranaje r 2 se reemplaza con otro engranaje de radio r 3 dónde r 3 > r 2 . De nuevo lo giras con torque τ durante un cuarto de ciclo para que tenga la misma energía en el sistema.

Mis preguntas son:

  1. ¿Sería el sistema 2 (con engranaje r 3 ) estar girando más rápido que el sistema 1 (con engranaje r 2 )? Creo que lo haría ya que hay un engranaje más grande.

  2. Si está girando más rápido, ¿cómo se justifica eso? Ingresa la misma energía en ambos sistemas, pero uno gira más rápido que el otro.

Gracias por cualquier ayuda.

Editar para aclarar:

  1. Estoy preguntando sobre la velocidad angular de la primera marcha en ambos sistemas.
  2. El dispositivo de rotación está conectado concéntricamente al primer engranaje.
He editado la pregunta esta vez, pero en el futuro asegúrese de formatear todas las ecuaciones y variables usando MathJax
¿No es todo lo contrario? Si se aplica torsión a r 1 , aumentar el radio del otro engranaje reducirá el desplazamiento angular del segundo engranaje.
Votar para cerrar como poco claro. 1) ¿Qué equipo estás preguntando acerca de "girar más rápido"? ¿Engranaje 1 o engranaje 3? Edite su pregunta para aclarar lo que quiere decir. Tal como está la pregunta, no está claro. El sistema no está girando. Cada engranaje y el "dispositivo de rotación" están girando. 2) El intervalo de tiempo de entrega del torque también es un factor. 3) Además, ¿el dispositivo de rotación está conectado concéntricamente o de borde a borde con el engranaje 1?
@BillN La cantidad total de trabajo realizado no depende del tiempo si el par ya se ha especificado actuando sobre algún ángulo. Esto sería como si la gravedad hiciera la misma cantidad de trabajo si levantas una masa un metro en un segundo o un metro en una hora. Además, todo el sistema tiene la misma velocidad lineal, por lo que todavía se puede hablar de la velocidad del sistema.
@BioPhysicist Gracias y anotado... lo haré de ahora en adelante.
@BioPhysicist Bien, y 3) probablemente no sea importante, pero mi primer punto es válido.

Respuestas (3)

Hagamos algunas suposiciones simplificadoras aquí:

  1. Los engranajes son mucho más livianos que la cadena, por lo que podemos suponer que toda la masa está ubicada en el exterior de los engranajes en la cadena misma.

  2. Las cadenas envuelven todo el engranaje. Probablemente esto sea menos realista, pero de esta manera podemos tratar el sistema como dos aros delgados que están obligados a girar a la misma velocidad lineal. No creo que esto arruine el análisis general.

  3. La cadena tiene una densidad de masa lineal uniforme. λ .

Por lo tanto, un engranaje de radio R tendrá una masa de metro = 2 π R λ y un momento de inercia de I = metro R 2 = 2 π R 3 λ Además, dada la restricción de que los engranajes estén conectados por la cadena, debe ser que los engranajes tengan la misma velocidad lineal v = ω 1 R 1 = ω 2 R 2 en sus bordes.

La energía cinética del sistema de dos engranajes será entonces

k = 1 2 I 1 ω 1 2 + 1 2 I 2 ω 2 2 = π λ R 1 2 ( R 1 + R 2 ) ω 1 2

Como puede ver, para la misma cantidad de trabajo, cuanto mayor sea R 2 es, cuanto menor ω 1 será. Por lo tanto, cuanto más grande sea la segunda marcha, más lento girará todo.

Gracias por la ayuda. Hice un pequeño experimento improvisado con mi bicicleta. Parece que cuanto más grande (en radio) es mi engranaje trasero, "más fácil" es girar un cuarto de ciclo. Entonces puedo poner una cantidad F de fuerza y ​​moverlo muy rápido más de 90 grados. De hecho, debo moverme rápido para mantener la fuerza o el pedal se aleja. Pero a medida que hago mi engranaje trasero más pequeño, se vuelve más difícil. Para aproximadamente la misma fuerza F sobre la misma distancia de un cuarto de ciclo, tengo que moverme mucho más lento. ¿Por qué crees que hay esta falta de coincidencia entre la respuesta proporcionada y la prueba?
@A.AK Si realmente querías preguntar sobre una bicicleta, deberías haberlo hecho. Echa un vistazo aquí para obtener más información sobre bicicletas.

Asumiendo que no hay otras cosas, el sistema más grande gira más lento debido a su mayor momento de inercia.

Entonces, como la energía cinética total en el primer sistema, suponiendo que una cadena sin masa está dada por las velocidades angulares ω 1 , 2 como

k = 1 2 I 1 ω 1 2 + 1 2 I 2 ω 2 2
donde estan los momentos de inercia I 1 , 2 . La cadena entre ellos fuerza r 1 ω 1 = r 2 ω 2 cuando está tenso, entonces esto es
k = 1 2 ( I 1 ( r 2 / r 1 ) 2 + I 2 ) ω 2 2
y si los engranajes son de construcción similar (mismo material de grosor pero patrón ampliado de otro modo de un tamaño a otro) tendrá I 1 = ( r 1 / r 2 ) 4 I 2 solo del análisis dimensional, por lo que tendrá una tasa
ω 1 = r 2 r 1   τ ⋅ π / 4 I 2 ( 1 + ( r 1 / r 2 ) 2 ) .

Así que si s = r 1 , 3 / r 2 tienes un término que va como 1 / ( s + s 3 ) , disminuye como s aumenta Los sistemas más grandes giran más lento con la misma energía.

obtengo por ω 1   esta ecuacion ω 1 2 = 2 τ π / 4 I 2 s 2 ( s 2 + 1 ) ???

Obtenemos la ecuación de la energía.

τ ⋅ θ = I 1 ω 1 2 2 + I 2 ω 2 2 2
.

Como los dos engranajes están unidos entre sí, su velocidad lineal en los bordes es la misma. Entonces, obtenemos la ecuación ω 1 r 1 = ω 2 r 2 .

Sea el momento de inercia de un engranaje I = k metro r 2 . Suponiendo que los engranajes están hechos del mismo material, su densidad 2-D - σ (masa por unidad de área) es constante. Entonces, I = k ( σ π r 2 ) r 2 , es decir I = k ′ r 4

Sustituyendo r 1 = ω 2 r 2 ω 1 y I norte = k ′ r norte 4 en la ecuación de la energía, obtenemos

τ ⋅ θ = k ′ ω 2 2 r 2 2 2 ( r 1 2 + r 2 2 )
Como τ ⋅ θ es constante en ambos casos,
ω 2 = k ″ r 2 r 1 2 + r 2 2
Así que cuando r 2 se incrementa a r 3 , de la ecuación se desprende que ω 2 se reducirá a ω 3 .

El engranaje más grande solo girará más rápido si su densidad es lo suficientemente más baja que la del engranaje más pequeño para reducir su momento de inercia.

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