Spin momento angular de un sistema de partículas: ¿Hay alguna energía asociada con él?

Question

Spin momento angular de un sistema de partículas: ¿Hay alguna energía asociada con él?

Rajesh D.

Considere un sistema de partículas puntuales, donde la masa de la partícula $i$ es $μ_i$ y su vector de posición es $\vec{r}_i$ . Dejar $\vec{r}_\text{cm}$ es el vector de posición del centro de masa del sistema. Considerando el sistema desde un marco de referencia unido al centro de masa, el sistema puede tener un giro alrededor del centro de masa y está dado por el momento angular de giro $\vec{L}_{spin}$ . viene dada por la expresión

{\vec{L}}_{s pag i norte} = \sum_{i} m_{i} [({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{cm}) \times ({\dot{\vec{r}}}_{i} - {\dot{\vec{r}}}_{cm})]

$\vec{L}_{spin} = \sum_i \mu_i \Bigl[(\vec{r}_i - \vec{r}_\text{cm}) \times (\dot{\vec{r}}_i - \dot{\vec{r}}_\text{cm}) \Bigr]$

La tasa de cambio de este momento angular de giro es el par total que actúa sobre el sistema alrededor del centro de masa en el marco de referencia del centro de masa.

Mi pregunta es, ¿hay alguna energía (cinética de giro (puede ser)) asociada con el momento angular de giro en el marco de referencia del centro de masa? ¿Cómo se define?

Ron Maimón

Su fórmula incluye la energía de "giro" en el interior. La descomposición en energía de "giro" y energía de traslación separadas solo es útil cuando el movimiento relativo está restringido, como para un cuerpo rígido. Si solo tiene una colección de partículas, no es necesario agregar una contribución por separado. La palabra "giro" no se usa para este tipo de cosas, simplemente se llama "la energía cinética del objeto giratorio extendido". La palabra espín suele reservarse para casos en los que el momento angular es de una partícula puntual cuántica, o una partícula que puede tratarse como un punto, y la energía de espín está en la masa.

Rajesh D.

@Ron Maimon: necesito separar la energía asociada solo con el giro de la energía cinética total. Tengo un sistema que está restringido pero no es rígido. ¿Hay alguna manera de que sea posible o no tiene sentido?

Ron Maimón

Ayudaría si dijeras cuáles son las restricciones. Si es casi rígido, como gelatina giratoria, puede alejarse de un cuerpo rígido. Si se trata de un péndulo doble giratorio, es posible que desee mantener la vista de partículas. No creo que haya una respuesta única para todos los sistemas.

Respuestas (2)

Spin momento angular de un sistema de partículas: ¿Hay alguna energía asociada con él?

Su fórmula incluye la energía de "giro" en el interior. La descomposición en energía de "giro" y energía de traslación separadas solo es útil cuando el movimiento relativo está restringido, como para un cuerpo rígido. Si solo tiene una colección de partículas, no es necesario agregar una contribución por separado. La palabra "giro" no se usa para este tipo de cosas, simplemente se llama "la energía cinética del objeto giratorio extendido". La palabra espín suele reservarse para casos en los que el momento angular es de una partícula puntual cuántica, o una partícula que puede tratarse como un punto, y la energía de espín está en la masa.
@Ron Maimon: necesito separar la energía asociada solo con el giro de la energía cinética total. Tengo un sistema que está restringido pero no es rígido. ¿Hay alguna manera de que sea posible o no tiene sentido?
Ayudaría si dijeras cuáles son las restricciones. Si es casi rígido, como gelatina giratoria, puede alejarse de un cuerpo rígido. Si se trata de un péndulo doble giratorio, es posible que desee mantener la vista de partículas. No creo que haya una respuesta única para todos los sistemas.

baalkikhaal · Answer 1

Similar a la derivación de la separación del momento angular en $L_{CM}$ y $L_{internal}$ , se puede derivar una expresión similar para la energía como $E = \frac{1}{2}M_{total}v_{CM}^{2} + \frac{1}{2}\sum \mu_{i} v_{i}^{'2}$ .

Prueba:

mi = \frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}

$E = \frac{1}{2}\sum \mu_{i} v_{i}^{2}$

v_{i} = v_{C METRO} + v_{i}^{^{'}}

$v_{i} = v_{CM} + v_{i}^{'}$

mi = \frac{1}{2} \sum m_{i} v_{C METRO}^{2} + v_{C METRO} \sum m_{i} v_{i}^{^{'}} + \frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{^{'} 2}

$E = \frac{1}{2}\sum \mu_{i} v_{CM}^{2} + v_{CM}\sum \mu_{i} v_{i}^{'} + \frac{1}{2}\sum \mu_{i} v_{i}^{'2}$ Dado que en el marco CoM

\sum μ_{i} (r_{i} - r_{cm}) = 0 \to \sum μ_{i} v_{i}^{^{'}} = 0

$\sum \mu_{i} (r_{i}-r_\text{cm}) =0 \to \sum \mu_{i} v_{i}^{'}=0$ .

q mi D

$QED$

L y E dentro del marco Com se pueden relacionar solo si el cuerpo es rígido. Uno puede referirse a Klepner & Kolenkow Classical Mechanics.

la última declaración en su respuesta contradice la respuesta de Lubos. Espero que alguien ayude a resolver esto
Estimado Rajesh, no creo que haya una contradicción. Esta respuesta cuantifica exactamente lo que quise decir, lo convierte en ecuaciones. El comentario de que "eso" solo funciona para cuerpos rígidos es cierto en el sentido de que solo los cuerpos rígidos tienen su propio valor "constante" del momento de inercia. Para sistemas no rígidos de partículas, puede definir el valor de $I$ por lo que la energía se parte de esta manera pero es inútil porque $I$ también puede cambiar arbitrariamente.
@Luboš Motl: Estimado Luboš Motl: Las dos ecuaciones en su respuesta no pueden interpretarse como el reemplazo de todo el sistema con un cuerpo cuyo momento de inercia cambia con el tiempo (eso es lo que ha tratado de dar una interpretación del momento instantáneo de inercia). Simplemente porque la velocidad angular de todas las partículas del sistema no es la misma. Solo trata de responder lo que quieres decir con $\omega$ en su ecuación (en su respuesta) en términos de las velocidades individuales de las partículas del sistema, ¡y aparece el problema!

Motl de Luboš · Answer 2

La energía asociada con las rotaciones internas es la energía rotacional

http://en.wikipedia.org/wiki/Energía_rotacional

dado por la formula

k = \frac{1}{2} I ω^{2}

$K = \frac 12 I \omega^2$

dónde $\omega$ es la frecuencia angular y $I$ es el momento de inercia con respecto al eje de rotación

http://en.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia
$I = \int d metro ρ^{2}$ $I = \int {\mathrm d}m \, \rho^2$

dónde $\rho$ es la distancia de la masa infinitesimal ${\mathrm d}m$ del eje de rotación. También,

I = I_{a b} {norte}_{a} {norte}_{b}

$I = I_{ab} n_a n_b$ en términos del momento de inercia tensorial

I_{a b}

$I_{ab}$ ;

\vec{n}

$\vec n$ es el vector unitario a lo largo del eje de rotación.

En esta situación, el sistema no es un cuerpo rígido, lo que significa que el momento de inercia no es constante en el tiempo. Por favor, hágame saber cuál es la fórmula en esta situación.
Sigue siendo la misma fórmula, solo $I$ es dependiente del tiempo. No es tan útil, pero la energía total siempre se puede dividir entre la "energía de rotación" interna anterior y la energía cinética concentrada en el centro de masa, $M_{total} V_{CM}^2/2$ . Esa es una identidad ya sea que las piezas sean rígidas o no.
Quieres decir que $k = \frac{{\vec{L}}_{s pag i norte}^{2}}{2 I}$ $K = \frac{\vec{L}_{spin}^2}{2I}$ dónde $I = \sum_{i} m_{i} [({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{cm})^{2}]$ $I = \sum_i \mu_i \Bigl[(\vec{r}_i - \vec{r}_\text{cm})^2\Bigr]$ . Por favor aclareme si estoy en lo correcto.
@David: creo que el momento de inercia de un sistema (sobre un eje a través de CoM) tiene sentido solo para cuerpos rígidos. Cuando el sistema no es rígido, las velocidades angulares de las partículas con respecto a CoM varían de una partícula a otra, por lo tanto, en la expresión del momento angular (suma de los momentos angulares de todas las partículas) no podemos sacar la velocidad angular común de la suma, por lo tanto, no puedo conseguirlo $I\omega$ tipo de expresión, por lo tanto, no existe tal concepto de momento de inercia variable en el tiempo para cuerpos no rígidos. Por favor, corríjame si estoy equivocado.

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