Conjunto microcanónico, ergodicidad y ruptura de simetría

En primer lugar, le recomiendo encarecidamente que lea las secciones 24 y 25 del excelente libro de Tolman sobre mecánica estadística . Mi respuesta irá principalmente en la línea de lo que está en el libro.

La hipótesis ergódica establece que un sistema eventualmente en algún intervalo de tiempo$T$visitar todos los estados compatibles con una determinada restricción energética. Como dijiste, esto implica una equivalencia entre el promedio del conjunto microcanónico y el promedio de tiempo.

Esta hipótesis fue presentada por Bolztmann y Maxwell en un intento de dar una justificación física (no estadística) a la mecánica estadística. El razonamiento es que la mecánica estadística brindaría una forma de calcular promedios a lo largo del tiempo de cantidades que, a su vez, se vinculan con los promedios de muchas repeticiones de un experimento. Entonces, si la hipótesis ergódica pudiera justificarse con las leyes de la mecánica clásica, la mecánica estadística no necesitaría introducir ningún postulado adicional (el postulado de igual probabilidad o máxima entropía).

Ahora sabemos que la hipótesis ergódica es errónea por dos razones:

1. La mecánica clásica muestra que los sistemas no exploran todo el espacio de fase correspondiente a una restricción de energía dada, sino solo un subconjunto de él. Las trayectorias pueden ser muy grandes pero no pasan por todos y cada uno de los puntos. Hay una versión cuántica de esta afirmación.

Sin embargo, si dejamos que pequeñas perturbaciones del entorno afecten a un sistema, algo como la ergodicidad puede volverse cierto. Esta suposición es realista porque ningún sistema puede estar totalmente aislado. Para volver a su ejemplo, un material paramagnético (o no ferromagnético) parecería ser ergódico. Exploraría la mayoría de los estados disponibles debido a las pequeñas perturbaciones electromagnéticas que lo afectan. Por otro lado, un material ferromagnético nunca parecería ergódico porque las pequeñas perturbaciones no pueden hacer que el imán cambie su orientación. Entonces tiene razón: los sistemas en los que hay una gran barrera de energía entre los estados definitivamente no son ergódicos.

2. Incluso en los casos en que se mantiene algo como la ergodicidad, el tiempo de recurrencia$T$puede ser muy grande, de hecho ser mayor que la edad del universo.

Finalmente, algunas de sus preguntas están más orientadas al concepto de simetría rota espontáneamente. Es posible que desee ver otras respuestas sobre este problema específico, por ejemplo, este .

EDITAR: este artículo también brinda buenas explicaciones, más específicamente sobre la imposibilidad de una fuerte ergodicidad.

Él [Boltzmann] planteó lo que llamó la hipótesis ergódica, que postulaba que el sistema mecánico, digamos para la dinámica de gases, comenzando desde cualquier punto, bajo la evolución temporal Pt, eventualmente pasaría por todos los estados en la superficie de energía. Maxwell y sus seguidores en Inglaterra llamaron a este concepto la continuidad del camino (3). Está claro que, bajo esta suposición, los promedios de tiempo son iguales a los promedios de fase, pero hoy también nos resulta igualmente claro que un sistema podría ser ergódico en este sentido solo si el espacio de fase fuera unidimensional. Plancherel (14) y Rosenthal (15) publicaron pruebas de ello, y antes Poincaré (16) había expresado dudas sobre la hipótesis ergódica de Boltzmann.

A mi modo de ver, sus preguntas están estrechamente relacionadas. Imagine un sistema a alta temperatura, explorando rápidamente gran parte de su espacio de fase. Se podría decir que la hipótesis ergódica es correcta en esta situación. Luego comienzas a reducir la temperatura y la energía, y puede suceder que para energías bajas haya dos regiones en el espacio de fase con la misma energía, pero muy separadas. Entonces el sistema, que se mueve caóticamente, quedará atrapado, cuando la temperatura caiga por debajo de cierto límite, en una de estas regiones. Esto podría verse como una transición de fase y la hipótesis ergódica no sería cierta en un sentido ingenuo (porque no todos los microestados con energía dada serían igualmente probables, solo aquellos en el componente conectado que fue "elegido")

Como todo lo demás en física, un conjunto microcanónico es una idealización, útil para comenzar y desarrollar algo de intuición.

La física clásica, donde se puede invocar la ergodicidad para sistemas bastante simples, también es una idealización. En la mecánica cuántica, que es la teoría más precisa, la noción de ergodicidad ni siquiera tiene cabida.

Por lo tanto, tiene razón: no hay sistemas microcanónicos. En equilibrio, los sistemas típicos son gran canónicos.

(Nota: tengo antecedentes de materia condensada, por lo tanto, usaría principalmente terminologías CMT; afortunadamente, el ejemplo de FM que proporcionó pertenece al área CMT).

Tiene varias preguntas, tratando de relacionar los siguientes problemas: conjunto microcanónico, ergodicidad, ruptura espontánea de simetría e incluso teoría de transición de fase de Laudau. Es demasiado complicado aclararlos todos. Haré lo mejor que pueda, y claramente requiere más discusión en el área de comentarios para llegar a un consenso final...

En primer lugar, algunas de sus preguntas no están realmente bien definidas, por ejemplo, la teoría de Laudau describe fenómenos de ruptura de simetría, que podrían ser una transición de segundo orden si el grupo de simetría final es un subgrupo del grupo original. Supongo (no del todo seguro) lo que tienes en mente es que relacionas la transición de fase con la evolución del sistema en tiempo real, lo que luego parece estar relacionado con la ergodicidad. Sin embargo, la teoría de la transición de Landau no tiene nada que ver con la evolución, y es solo una descripción fenomenológica de los dos lados de la transición de fase, caracterizando el sistema por un parámetro de orden introducido a mano (pero medible), que es un punto de vista estático que es siempre describiendo el sistema después de que se alcanza el equilibrio. Para una transición continua de segundo orden, siempre que el grupo de simetría final contenga o esté contenido en el grupo original, la teoría de Landau siempre funciona. (Hoy sabemos que hay algunos ejemplos exóticos, por ejemplo, punto crítico cuántico desconfinado, orden topológico, etc.)

Además, regrese al ejemplo de FM que mencionó, se trata de la ruptura de simetría espontánea (SSB), que es mucho más complicado: tener un SSB no requiere que el sistema elija un conjunto específico de configuración, que es la imagen clásica en tu mente; mientras que la mecánica cuántica, incluso en un estado de superposición, aún podría detectar el orden de largo alcance fuera de la diagonal de cierto parámetro de orden local para saber si hay un SSB o no. Más precisamente en el caso de FM, si observa el hamiltoniano original de Heissenberg, después de la diagonalización de bloques, el hamiltoniano efectivo en la variedad de estado fundamental debe ser una matriz identidad multiplicada por un valor de energía constante; esto verifica su pensamiento de que si el sistema fuera anclado en una cierta dirección debido a algunas perturbaciones externas o su medición, digamos, de la$S_z$componente, entonces la evolución en el tiempo de este sistema cuántico lineal nunca podría ir en otras direcciones, ya que no hay ningún término fuera de la diagonal en hamiltoniano. Recuerde, "debido a algo" significa que, en teoría, realmente podría tener un estado de superposición sin "SSB clásica (es decir, magnetización total que elige una dirección)" si no hay perturbaciones en absoluto. Sin embargo, este estado de superposición todavía no es un "sistema microcanónico", ya que es un estado puro y la naturaleza de evolución lineal de QM prohíbe que su camino cubra toda la variedad del estado fundamental, que explico en detalle en el siguiente párrafo. Pero la idea básica de mi explicación anterior es aclarar que SSB no es un ejemplo adecuado para ayudar a comprender la ergodicidad.

En segundo lugar, si hay un, en sus palabras, "sistema microcanónico"? Bueno, desde una perspectiva estadística, un conjunto debe estar formado por un número infinito de sistemas. ¡No hay nada llamado "sistema microcanónico" en absoluto! Solo se introduce el "conjunto microcanónico" en la física estadística. Por ejemplo, para una energía dada$E_0$hay varios estados degenerados, entonces podría hacer varias copias del sistema forzándolos a satisfacer la suposición de distribución equitativa, luego juntos forman un conjunto directamente. Así que no tienes que preocuparte de si hay un conjunto; más bien, debe preguntar si el enfoque de conjunto para un solo sistema es válido o no. Más precisamente, creo que lo que quiere preguntar es: si hay un solo sistema (aislado), cuyo promedio de tiempo puede aproximarse mediante un promedio de conjunto, es decir, la hipótesis de ergodicidad se mantiene allí. Respuesta corta (para un sistema aislado): clásicamente posible, mecánicamente cuántica no es posible. Clásicamente, podría encontrar el famoso ejemplo de partículas libres en una caja de longitud no proporcional. Pero para un sistema cuántico, la evolución es lineal:$|\Psi(t)\rangle = \sum_i\lambda_ie^{iE_it}|\psi_i\rangle$dónde$E_i$es la energía propia del hamiltoniano; esto claramente no es ergódico. En el caso extremo, podría simplemente hacer un estado propio en$t=0$, entonces nunca pasaría a otros estados degenerados. Por lo tanto, al menos, la ergodicidad es imposible para un estado propio de un sistema aislado. Por lo tanto, no necesita considerar cosas como "barrera de energía" en absoluto, si el sistema está realmente aislado.

Pero, ¿significa eso que la perspectiva del conjunto tradicional es completamente inútil, incluso incluye conjuntos canónicos y grandes conjuntos canónicos que se derivan de uno microcanónico? No precisamente. Sin embargo, desde un punto de vista más moderno, existen varios problemas complicados, por ejemplo, la hipótesis de termalización del estado propio (ETH), el caos cuántico (probablemente... No estoy familiarizado con el caos en absoluto, así que lo saltaré y puedes preguntarle a otra persona). No sé mucho, pero ETH brinda la posibilidad de que, para un subsistema de uno aislado, aún pueda usar un conjunto canónico para el análisis (pero esta hipótesis se violaría en algunos casos, relacionada con un tema muy candente: muchos- localización del cuerpo).

Dos cosas más para mencionar sobre la ergodicidad y la perspectiva del conjunto:

(1) En el mundo real, no hay nada aislado en los experimentos: aquí la barrera de energía sí importa, ya que las perturbaciones externas podrían llevar al sistema a un "equilibrio estadístico" solo cuando la barrera no es demasiado grande.

(2) Incluso si idealiza algo aislado, la forma en que lo modela teóricamente no siempre es lo suficientemente completa: siempre hay algún mecanismo de interacción interno que ignoramos. Por lo tanto, para examinar la predicción teórica de un experimento, todavía se puede aplicar la perspectiva de conjunto tradicional en muchos casos.

¿La ruptura de simetría en materiales ferromagnéticos por debajo de la temperatura de Curie podría ocurrir debido a algunas interacciones microscópicas con algo que se descuida en nuestra descripción?

No en realidad no. Tienes una ruptura de simetría espontánea en el modelo de Ising en$d>1$sin necesidad de ningún término de interacción adicional en el hamiltoniano.

De manera equivalente, esta pregunta podría reformularse como: ¿existen realmente los sistemas microcanónicos?

¿Qué quieres decir exactamente con "sistema microcanónico"?

Si te refieres a un sistema con energía fija y número de partículas, entonces, por supuesto, como todo en física, esto es una idealización, porque ningún sistema puede estar perfectamente aislado en la práctica.

Sin embargo, el adjetivo "microcanónico" se refiere más a menudo al conjunto microcanónico . Un conjunto es una colección infinita ideal de copias de un sistema que se diferencian por su microestado en un instante dado en el tiempo. Un conjunto microcanónico es un conjunto de sistemas con la misma energía$E$, número de partículas$N$y volumen$V$.

Con este significado, el concepto de "conjunto microcanónico" es por supuesto una idealización, porque nunca tendremos acceso a un número infinito de copias de un mismo sistema. La utilidad del concepto de "conjunto" reside precisamente en la hipótesis ergódica, que te dice que promediar sobre este conjunto ideal (que no existe en la práctica) equivale a promediar en el tiempo, si el intervalo de tiempo en el que se toma el promedio es "suficientemente largo". Entonces, la hipótesis ergódica es, si usamos el enfoque de "conjunto", la hipótesis central sobre la cual se construye toda la mecánica estadística (1).

Hay varios problemas en la hipótesis ergódica, el primero es que "lo suficientemente largo": a veces, el tiempo de relajación de un sistema puede ser extremadamente largo, más largo que cualquier escala de tiempo que un ser humano pueda medir. Para tales sistemas, ni siquiera podemos decir si la ergodicidad está realmente rota o si el tiempo que debemos esperar para que el sistema se termalice es simplemente demasiado grande para que podamos medirlo.

¿Es posible que la validez de la hipótesis ergódica esté relacionada con la altura de la barrera de energía entre las configuraciones microscópicas permitidas?

Absolutamente. Esto es exactamente lo que sucede en un vidrio: si un líquido se enfría lo suficientemente rápido, no podrá cristalizar y quedar atrapado en un estado metaestable que no es su verdadero estado fundamental a esa temperatura (que es el cristal). El tiempo que debe esperar el sistema para salir de este estado metaestable es aproximadamente proporcional a$\exp(\beta \Delta F)$, dónde$\Delta F$es la altura de la barrera de energía libre que el sistema debe superar. Entonces el tiempo de relajación aumenta exponencialmente con la altura de la barrera; cuando este tiempo es mayor que cualquier tiempo que podamos medir, decimos que la ergodicidad está rota .

Sin embargo, me gustaría enfatizar que lo que en realidad estamos diciendo es que la ergodicidad está rota... para nosotros : si esperamos un tiempo "suficientemente largo", el sistema eventualmente escapará de este estado metaestable y alcanzará su estado fundamental real. . De hecho, existe un teorema, llamado teorema de recurrencia de Poincaré , que dice que si un sistema tiene energía y volumen acotados, casi todos los estados iniciales serán visitados una cantidad infinita de veces durante su evolución dinámica ("casi todos" significa que habrá ser un conjunto discreto de estados iniciales que pueden violar el teorema). Sin embargo, el tiempo de recurrencia aumenta exponencialmente con el tamaño del sistema, y ​​dado que un sistema típico de la vida real contiene algo como$10^{23}$partículas obtenemos tiempos de recurrencia que están completamente fuera del dominio de la física (la edad del universo es un "simple"$10^{17}$segundos).

Tomemos como ejemplo su ferromagneto, y más específicamente la descripción del modelo Ising del mismo. Hay dos posibles estados fundamentales: el estado de todos los giros hacia arriba y el estado de todos los giros hacia abajo. Para cambiar de un estado fundamental al otro, debe invertir la mitad de los giros más uno, y la otra mitad seguirá inmediatamente; el coste energético asociado a esta operación es por tanto proporcional a$N/2+1$, dónde$N$es el tamaño de su sistema (el número de giros). Por lo tanto, el tiempo$\tau$tendrá que esperar una fluctuación para que su sistema salte de un estado fundamental a las otras escalas aproximadamente como$\tau \propto \exp(\beta \epsilon N)$, dónde$\epsilon$es algo de energía. Esto significa que si$N$es "suficientemente grande"$\tau$será mayor que la edad del universo y por lo tanto el sistema tendrá, para cualquier propósito práctico, ergodicidad rota.

(1) De hecho, es posible sentar las bases de la mecánica estadística a partir de declaraciones más débiles, pero este es otro asunto. Fíjese, por ejemplo, en el primer capítulo del libro de Landau (Física estadística) o en esta pregunta y respuestas .