Confusiones sobre los marcos de referencia al derivar la ecuación de movimiento de rotación de Euler

Question

Confusiones sobre los marcos de referencia al derivar la ecuación de movimiento de rotación de Euler

Ma Joad

Me estoy confundiendo acerca de cuándo los pares deben ser independientes del cuadro. Tengo entendido que el par es el mismo en todos los marcos que giran a velocidad angular constante. Sin embargo, esto parece no ser completamente exacto. Para cualquier vector $\def\ba{\mathbf a}\ba$ ,

{\frac{d a}{d t} |}_{I} = {\frac{d a}{d t} |}_{R} + ω \times a,

$\left.\frac{d\mathbf a}{dt}\right|_I=\left.\frac{d\mathbf a}{dt}\right|_R+\boldsymbol\omega\times \mathbf a,$ dónde

I

$I$ y

R

$R$ denota tomando la derivada en el marco inercial y giratorio con velocidad angular

ω

$\boldsymbol\omega$ , respectivo. Mi primera pregunta es: ¿es verdadera esta ecuación incluso si $\boldsymbol\omega$ es dependiente del tiempo?

Si es así, entonces podemos continuar. Dejar $\mathbf L$ denote el momento angular de un cuerpo rígido. Entonces,

{\frac{d L}{d t} |}_{I} = METRO {\frac{d L}{d t} |}_{R} + ω \times L = METRO,

$\left.\frac{d\mathbf L}{dt}\right|_I=\mathbf M\\ \left.\frac{d\mathbf L}{dt}\right|_R+\boldsymbol\omega\times \mathbf L=\mathbf M,$ Dónde

M

$M$ es el momento (torque) medido en el marco de referencia inercial. Hasta este punto, la ecuación es válida para todos los marcos giratorios. Vamos a escoger

ω

$\boldsymbol\omega$ ser la velocidad angular del cuerpo rígido medida en un marco inercial, por lo que ahora estamos en el marco giratorio del cuerpo. En el marco giratorio, el cuerpo está estacionario, por lo que

L |_{R} = 0

$\mathbf L|_R=0$ - pero eso no significa necesariamente que

{\frac{d L}{d t} |}_{I} = 0

$\left.\frac{d\mathbf L}{dt}\right|_I=0$ , porque en la expresión

{\frac{d L}{d t} |}_{I}

$\left.\frac{d\mathbf L}{dt}\right|_I$ , el

L

$\mathbf L$ se mide en el marco inercial, aunque su derivada temporal se toma en el marco giratorio. ¿Tengo razón hasta ahora? Todos estos parecen extraños.

Entonces, lo que vamos a hacer ahora es 1) expresar $\mathbf L=\mathbf L|_I$ en los vectores base del marco giratorio 2) diferencie cada componente, obtenemos el tiempo real, pero asumiendo que esos vectores base son independientes del tiempo. El paso 1) es fácil:

L |_{I} = L_{i} {mi}_{i} = \sum I_{i} ω_{i} {mi}_{i}

$\mathbf L|_I=L_i\mathbf e_i=\sum I_i\omega_i\mathbf e_i$ El momento de inercia es constante aquí (¿ Es constante en todos los marcos o solo en el marco del cuerpo? De todos modos, no tiene sentido para mí medir la inercia de un cuerpo giratorio a lo largo de un eje fijo), por lo que podemos escribir con seguridad

\dot{L_{I}} |_{R} = I \dot{ω}

$\dot {\mathbf L_I}|_R=\mathbf I \dot{\boldsymbol{\omega}}$ y por lo tanto

I \dot{ω} + ω \times (I ω) = METRO

$\mathbf{I} \dot{\boldsymbol\omega} + \boldsymbol\omega \times \left( \mathbf{I} \boldsymbol\omega \right) = \mathbf{M}$ En las dos expresiones anteriores,

ω

$\boldsymbol\omega$ es la velocidad angular medida en el marco inercial, pero nuevamente, su derivada temporal se toma en el marco giratorio. Esto hace que mi vida sea extremadamente difícil: primero mida en el marco inercial, luego tome la derivada en el marco giratorio. ¿Estoy realmente entendiendo esto correctamente?

jalex

MMOI solo es constante en el marco del cuerpo. De lo contrario, debe transformarlo en el marco inercial con

I |_{I} = R (I |_{B}) R^{⊤}

$\mathbf{I}|_I =\mathrm{R} \,(\mathbf{I}|_B)\, \mathrm{R}^\top$ y

R

$\mathrm{R}$ es la matriz de rotación de 3 × 3 que se transforma de estructura corporal a estructura inercial.

Respuestas (2)

Confusiones sobre los marcos de referencia al derivar la ecuación de movimiento de rotación de Euler

MMOI solo es constante en el marco del cuerpo. De lo contrario, debe transformarlo en el marco inercial con $I |_{I} = R (I |_{B}) R^{⊤}$ $\mathbf{I}|_I =\mathrm{R} \,(\mathbf{I}|_B)\, \mathrm{R}^\top$ y $\mathrm{R}$ es la matriz de rotación de 3 × 3 que se transforma de estructura corporal a estructura inercial.

Juan Alexiou · Answer 1

Sí, la derivada en el marco giratorio se obtiene utilizando la velocidad de rotación instantánea $\boldsymbol{\omega}$ (valor en un instante de tiempo) y es válido tanto para vectores de rotación constantes como variables.
Su ecuación de momento angular en el marco giratorio es correcta.

$METRO |_{I} = \frac{d L |_{I}}{d t} = \frac{\partial L |_{R}}{\partial t} + ω |_{I} \times L |_{I}$ $\mathbf{M}|_I = \frac{d\mathbf L|_I}{dt} = \frac{\partial \mathbf L|_R}{\partial t} +\boldsymbol\omega|_I\times \mathbf L|_I$ Pero en el marco giratorio $\mathbf L|_R \neq 0$ . El marco giratorio es solo un conjunto de vectores base sobre los cuales resolver los vectores de marco inercial. $L |_{I} = R L |_{R}$ $\mathbf L|_I= \mathrm{R}\, \mathbf L|_R$

dónde $\mathrm{R}$ es el vector de rotación entre el marco del cuerpo y el marco de inercia.
El momento de inercia es constante en la estructura del cuerpo en general, a menos que el cuerpo gire alrededor de un eje de simetría. Pero para usar el tensor MMOI, debe alinearlo con los vectores de base inercial, lo que se hace con la siguiente transformación:

$I |_{I} = R I |_{R} R^{⊤}$ $\mathbf{I}|_I = \mathrm{R}\, \mathbf{I}|_R \,\mathbf{R}^\top$

Ahora tiene todo lo que necesita sobre el mismo vector base (el inercial) para establecer la ecuación de movimiento

METRO |_{I} = I |_{I} \dot{ω} |_{I} + ω |_{I} \times I_{I} ω |_{I}

$\mathbf{M}|_{I} = \mathbf{I}|_{I}\,\mathbf{\boldsymbol{\dot{\omega}}}|_{I} + \boldsymbol{\omega}|_{I}\times\mathbf{I}_{I}\,\boldsymbol{\omega}|_{I}$

Para representar lo anterior en el marco giratorio, use las transformaciones $\mathbf{M}|_I = \mathrm{R}\, \mathbf{M}|_R$ y $\mathbf{\omega}|_I = \mathrm{R}\, \mathbf{\omega}|_R$ . Pero se da cuenta de que esto es solo un cambio de vectores base, y no toma lo mismo que si tomara medidas del cuerpo en movimiento (lo que daría como resultado $\boldsymbol{\omega}|_R = 0$ ).

$\begin{aligned} R METRO |_{R} & = R I_{R} R^{⊤} (R \dot{ω} |_{R} + ω |_{I} \times R ω |_{R}) + (R ω |_{R}) \times (R I_{R} R^{⊤} R ω |_{R}) \\ METRO |_{R} & = I_{R} (\dot{ω} |_{R} + R^{⊤} (ω |_{I} \times ω |_{I})) + ω |_{R} \times I_{R} ω |_{R} \\ METRO |_{R} & = I_{R} \dot{ω} |_{R} + ω |_{R} \times I_{R} ω |_{R} \end{aligned}$ $\begin{aligned}\mathrm{R}\,\mathbf{M}|_{R} & =\mathrm{R}\,\mathbf{I}_{R}\,\mathrm{R}^{\top}\,\left(\mathrm{R}\,\dot{\boldsymbol{\omega}}|_{R}+\boldsymbol{\omega}|_{I}\times\mathrm{R}\,\boldsymbol{\omega}|_{R}\right)+\left(\mathrm{R}\,\boldsymbol{\omega}|_{R}\right)\times\left(\mathrm{R}\,\mathbf{I}_{R}\,\mathrm{R}^{\top}\,\mathrm{R}\,\boldsymbol{\omega}|_{R}\right)\\ \mathbf{M}|_{R} & =\mathbf{I}_{R}\,\left(\dot{\boldsymbol{\omega}}|_{R}+\mathrm{R}^{\top}\left(\boldsymbol{\omega}|_{I}\times\boldsymbol{\omega}|_{I}\right)\right)+\boldsymbol{\omega}|_{R}\times\mathbf{I}_{R}\,\boldsymbol{\omega}|_{R}\\ \mathbf{M}|_{R} & =\mathbf{I}_{R}\,\dot{\boldsymbol{\omega}}|_{R}+\boldsymbol{\omega}|_{R}\times\mathbf{I}_{R}\,\boldsymbol{\omega}|_{R} \end{aligned}$

Observe la transformación de $\boldsymbol{\dot{\omega}}|_I$ sobre las coordenadas del cuerpo es la derivada de $\boldsymbol{\omega}|_R$ usando la derivada del marco giratorio, pero cancelando los términos convectivos.

Gabe Fernández · Answer 2

El par siempre tiene un marco de referencia y debe transformarse cinemáticamente entre el marco de inercia y el marco del cuerpo.

Sí, la ecuación derivada del tiempo es un diferencial instantáneo wrt $\omega$ .

Por "todos los marcos giratorios" asumo que te refieres a todos los sistemas de coordenadas que están fijos en el marco del cuerpo (por ejemplo, momentos de inercia principales, algunas otras coordenadas globales). Lo mismo con "asumir que esos vectores base son independientes del tiempo". Está bien.

la L se mide en el marco inercial, aunque su derivada temporal se toma en el marco giratorio

El momento de inercia solo tiene sentido cuando se habla de coordenadas del cuerpo con un punto fijo. Recuerde que para cada rotación (matriz), hay un eje fijo, que podría estar en más de una dirección de marco inercial o centrada en el cuerpo (es decir, precesión junto con rotación).

La ecuación de Euler para el movimiento de un cuerpo rígido con un punto fijo, como establece la última ecuación, describe el $\vec{\omega}$ dinámica en el marco del cuerpo, pero siempre sabes el $\omega$ en el marco del laboratorio.

En la última afirmación estás diciendo $\vec{\omega}$ está en el marco del cuerpo. Pero eso es cero, ¿verdad? Ya que en ese marco el cuerpo rígido está en reposo.
¿No tiene sentido hablar de $\omega$ con componentes de momentos principales de inercia?

Confusiones sobre los marcos de referencia al derivar la ecuación de movimiento de rotación de Euler

Ma Joad

jalex

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