Sistema de resorte giratorio: ¿Es correcta mi intuición?

Adoptemos coordenadas polares. Fije el cuerpo giratorio en el origen. Todo está sucediendo en un avión. Supongo que ambos resortes giran con el cuerpo giratorio, es decir, siguen el movimiento. Por lo tanto, tienen la misma velocidad angular.$\theta$.

Tomemos el momento de inercia del cuerpo giratorio en el origen como J. También asumo una simetría del sistema en la forma en que ambos resortes son iguales y las masas comienzan a la misma distancia, anotó$r$. El lagrangiano del sistema es entonces

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}M\left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\right) + \frac{1}{2}M\left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\right) + \frac{1}{2}J\dot{\theta}^2 - \frac{1}{2}kr^2 - \frac{1}{2}kr^2$$

$\theta$al ser una variable cíclica, el momento angular total se conserva

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}} = (2Mr^2+J)\dot{\theta} = c$$

dónde$c$es una constante Este es un resultado que puedes encontrar también con la mecánica newtoniana. Ninguna fuerza crea torsión en el sistema ya que la fuerza del resorte es ortogonal al movimiento. Entonces, el momento de inercia total con la ayuda del teorema de Steiner es$2Mr^2 + J$y el momento angular sigue como arriba. Esta constante nos ayudará a responder a su pregunta. para saber si$\dot{\theta}$ralentizará y acelerará, etc... necesitamos saber el comportamiento de$r(t)$. Esto viene dado por las ecuaciones de Euler-Lagrange para$r$, que nuevamente podría obtener con un estudio de diagrama de fuerza newtoniano pero extenso:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r} = 0$$ que después de realizarlo da

$$2M\ddot{r} - 2Mr\dot{\theta}^2 +2kr = 0 \text{ or } \ddot{r} = r\dot{\theta}^2 - \omega_0^2 r = (\dot{\theta}^2 - \omega_0^2)r$$

dónde$\omega_0^2 \equiv \frac{k}{M}$. Esta ecuación diferencial es difícil de resolver, incluso si sustituimos$\dot{\theta}$de la cantidad conservada, pero nos dice dos cosas de la última ecuación diferencial:

1. Si la parte centrífuga es mayor que la parte del resorte, el movimiento obedece a exponenciales aproximadamente divergentes.$\ddot{r} \sim z r$con$z > 0$. Intuitivamente, esto significa que la masa unida al resorte está bajo una rotación tan fuerte que el resorte no es suficiente para mantenerlo en un movimiento circular y, por lo tanto, las masas se separan cada vez más.
2. Si ambas contribuciones son iguales, significa que estamos en un régimen estable donde la fuerza del resorte es suficiente para mantener la masa en un círculo, y esto no hay oscilación y la velocidad angular es constante.
3. Si la fuerza del resorte domina la parte centrífuga, entonces tenemos un comportamiento oscilatorio y su intuición es correcta.

Nótese sin embargo que para el primer punto, como$r$desaparece divergentemente, la cantidad conservada nos dice que la velocidad angular debería disminuir, permitiendo así que la masa regrese ya que la fuerza del resorte alcanzaría a la parte centrífuga. Entonces, en general, la masa regresaría, pero no sé cuán oscilatorio sería esto. Lo mejor sería resolver numéricamente la ecuación diferencial anterior para estudiar todos los casos.

Por lo que entendí, hay dos casos:

1. Rotor: si hay un rotor al final del eje A1 que gira con una velocidad de rotación constante, entonces, obviamente, se conserva la velocidad angular. Sin embargo, en este caso la energía no se conserva en todo momento (aunque sí se conserva su promedio durante largos períodos); y el rotor recibirá algo de energía a veces y trabajará en otras ocasiones.

2. Rotación libre: En este caso, al no existir una fuente externa de energía, se conserva la energía total. Además, no hay nada que proporcione par, por lo que también se conserva el momento angular . Esto, como dijiste, significa que cuando las dos masas se acercan al eje, el sistema girará más rápido (lo que también tiene sentido con la conservación de la energía).