Topología trivial y no trivial de la estructura de bandas

No entiendo el significado de la expresión "topología trivial" o "topología no trivial" para una estructura de banda electrónica . ¿Alguien tiene una buena explicación?

Esto significa que la zona de Brillouin puede tener diferentes topologías, como un toro o una esfera, consulte physics.stackexchange.com/questions/70057/…
Está bien. ¿Pero qué significa realmente? ¿Cuáles son las características de una estructura de banda con topología trivial o no trivial? Lo siento. No puedo entender la definición de topología trivial o no trivial en esta área.
La fase de Berry tiene relevancia directa para los aisladores topológicos. Se puede demostrar que la topología no trivial de las bandas masivas da como resultado una fase de Berry no trivial. Bajo un campo eléctrico externo, esto da lugar al movimiento neto de carga. Para una fase Hall cuántica entera, este movimiento neto de carga provoca la corriente a lo largo de los bordes, dando el coeficiente de Hall cuantificado. Para la fase Quantum Spin Hall, el resultado neto es que el giro se transfiere de un borde al opuesto dado el efecto Hall de giro.
Creo que echo de menos los conceptos básicos... ¿Existe una definición formal de lo que debe aplicarse una topología trivial o una topología no trivial?
En topología los géneros clasifican diferentes objetos. Por ejemplo, distingue un toro de una bola. Entonces el género puede interpretarse como el número de agujeros. Leí en muchos artículos que el número de Chern es como el género y hay un enlace a través del teorema de Gauss-Bonnet. No entiendo cuando puedo decir que una estructura de banda electrónica tiene una topología trivial o no trivial. Por ejemplo: ¿Por qué un aislador ordinario tiene una topología trivial?

Respuestas (1)

Uno de los primeros triunfos de QM (a través, por ejemplo, del modelo Kronig-Penney) fue la explicación del estado aislante de la materia. Las bandas de energía (y las brechas) aparecen como resultado de la hibridación de muchos orbitales atómicos, y para un llenado específico, puede terminar con el par de bandas superior completamente lleno (banda de valencia) o completamente vacío (banda de conducción). Ningún campo eléctrico (pequeño) puede perturbarlos lo suficiente como para causar movimiento y, por lo tanto, tiene un aislante. En este aislador trivial, aunque la mayor parte es aislante, existe la posibilidad de que, por ejemplo, los enlaces colgantes introduzcan estados que se encuentran en un espacio de energía. Estos estados se localizan en el borde; sin embargo, no son robustos y, como tales, no son particularmente útiles.

Ahora, si tiene un material con una interacción espín-órbita lo suficientemente fuerte, por ejemplo ( no esencial para el efecto, pero un enfoque históricamente importante), esto puede hacer que las bandas de energía por encima y por debajo de la brecha cambien de lugar. Esta torsión está protegida por la invariancia de inversión en el tiempo y, aunque sigue siendo un aislante, la fase resultante es topológicamente diferente a la de un aislante ordinario. La torsión de la estructura de la banda es a lo que se refiere la frase topología no trivial; una analogía sería la forma en que una tira de Mobius es una versión retorcida de una tira ordinaria. Esto se manifiesta en el hecho de que cuando se ponen los dos en contacto, la estructura de la banda enrollada del TI debe desenrollarse para que la estructura de la banda se ajuste a la del aislador ordinario. Este desenrollado tendrá que cerrar la brecha cerca del borde, por lo tanto, los estados de borde topológicamente protegidos. Esta es la parte interesante de los aisladores topológicos desde el punto de vista práctico.

Entonces, si la estructura de la banda está enrollada o no, es una propiedad topológica, y uno puede medirla con el índice topológico, también llamado número de Chern, definido como

C = 1 2 π ∑ norte ∮ F d k

donde la suma es sobre bandas ocupadas, la integral es sobre toda la zona de Brillouin, y la cantidad integrada es la curvatura de Berry (análogo del campo magnético en k espacio) F = − i ∇ k × ⟨ tu norte k | ∇ k | tu norte k ⟩ , dónde tu norte k son los vectores propios de Bloch. Si C = 0 usted tiene un aislador trivial, y si C ≠ 0 usted tiene un aislador no trivial o topológico.

Entonces, ¿existe un vínculo con el número de bobinado de la fase Berry de las funciones de onda de electrones alrededor de la Zona de Brillouin?
Si no me equivoco, para T-invariante Z 2 aisladores topológicos la paridad del número de devanados determina la fase topológica; impar - topológico, par - trivial.
Está bien. Disculpa, última pregunta! Entonces, ¿es correcto decir que la topología "no trivial" es como un nudo en la banda de energía? ¿Mientras que el aislador trivial es como una tira ordinaria?
En realidad, mirar la estructura de la banda no le dirá mucho sobre la topología; mirando los vectores propios de Bloch, es decir, las funciones de onda lo harán. Entonces, podría argumentar que las funciones de onda en realidad están anudadas. De hecho, esta es probablemente una de las razones por las que los aisladores topológicos se descubrieron tan tarde; la mayoría de la gente simplemente se detuvo cuando obtuvo la dispersión, pensando que, dado que las funciones de onda no son medibles, no se podría derivar nada importante de ellas.
@mgphys: Buena respuesta; sencillo y elegante! m.mybo: Me gustaría señalar un pequeño tecnicismo que podría evitarle confusiones en el futuro: el "número de Chern" para aisladores topológicos (TI) es cero . El número de Chern se introdujo por primera vez para el efecto Hall cuántico entero (IQHE). los Z 2 invariante es una analogía exacta del número de Chern. Incluso las expresiones (integral del campo de curvatura de Berry sobre la zona de Brillouin) son casi las mismas. Como dijo mgphys, los aisladores pueden tener cualquier cantidad de bandas de borde, pero los TI tienen 1 par protegido de bandas de borde. Por lo tanto, la paridad importa.
Leí que para QSHE hay dos números de chern independientes (uno para girar hacia arriba y otro para girar hacia abajo). y el indice v = ( norte + − norte − ) / 2 metro o d 2 clasificar los estados de la sala de espín cuántico. ¿Es correcto?
@NanoPhys ¡Gracias! m.mybo: QSHE consta de dos versiones del modelo de Haldane, y puede definir un número de Chern para cada uno con norte + = − norte − de modo que v = norte ± modificación 2 .
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