Confusión de transformación inversa de Lorentz

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Confusión de transformación inversa de Lorentz

Física
definición
convenciones
marcos inerciales
sistemas coordinados
relatividad especial

alex wang

Esta pregunta me ha hecho tropezar durante mucho tiempo. Espero que alguien me lo pueda explicar de una vez por todas. Mi pregunta es ¿cuándo se usa la transformación de Lorentz y cuándo se usa la transformación de Lorentz inversa? ¿Alguien puede dar un ejemplo de cuándo es correcto usar uno y cuándo es correcto usar el otro?

Respuestas (3)

Confusión de transformación inversa de Lorentz

Espaguetificación cuántica · Answer 1

Digamos que tienes dos marcos de referencia; marco $F$ y marco $F'$ tal que $F'$ se mueve a velocidad $v$ en positivo $x$ dirección de $F$ . Dado un evento de espacio-tiempo que ocurre en $(ct,x,y,z)$ en el marco de $F$ la transformada de Lorentz nos ayuda a encontrar las coordenadas espacio-temporales $(ct',x',y',z')$ de ese evento en el marco $F'$ . Sin embargo, si sabe que el evento ocurre en $(ct',x',y',z')$ la transformada inversa de Lorentz nos ayuda a encontrar las coordenadas espacio-temporales $(ct,x,y,z)$ de ese evento en el marco $F$ .

La transformada de Lorentz para el $x$ coordenada viene dada por:

X^{'} = γ (X - v t)

$x'=\gamma (x-vt)$ Todo en el RHS de esta ecuación se mide en el marco

F

$F$ y cada cosa en el LHS se mide en marco

F^{'}

$F'$ . Desde el primer postulado de la relatividad especial las leyes de la física en el marco

F^{'}

$F'$ debe ser el mismo que el del marco

F

$F$ para encontrar

x

$x$ nosotros podemos usar:

X = γ (X^{'} - v^{'} t^{'})

$x=\gamma(x'-v't')$ Dónde

v^{'}

$v'$ es la velocidad del cuadro

F

$F$ en el marco

F^{'}

$F'$ cual es

- v

$-v$ , de este modo:

X = γ (X^{'} + v t^{'})

$x=\gamma(x'+vt')$ Esta es la transformada inversa de Lorentz y nuevamente observe que todo en el LHS se mide en marco

F

$F$ y en el RHS en el marco

F^{'}

$F'$ .

Entonces, la transformada de Lorentz y la transformada de Lorentz inversa son lo mismo solo entre marcos diferentes. La transformada de Lorentz se usa cuando se pasa del marco $F$ a $F'$ y la transformada inversa se usa cuando se pasa del marco $F'$ enmarcar $F$ .

Como dijiste, son lo mismo. No puedo entender por qué incluso ese término habría sido acuñado en primer lugar. ¿Algunas ideas?

Ricardo · Answer 2

1.0 Introducción.La Transformación de Lorentz pertenece a dos observadores inerciales. La forma principal de la transformación se usa generalmente para transformar las coordenadas espaciotemporales de un evento del primer observador en las coordenadas espaciotemporales del segundo observador para el mismo evento. La forma inversa de la transformación se usa generalmente de manera opuesta, para transformar las coordenadas de espacio-tiempo del segundo observador de un evento en las coordenadas de espacio-tiempo del primer observador para el mismo evento. Sin embargo, el lector debe entender que las formas primaria e inversa de la transformación son matemáticamente indistinguibles. Para ser claros, son matemáticamente idénticos. Simplemente expresan la relación de la representación del espacio-tiempo del primer y segundo observador del mismo evento de dos maneras diferentes. Han pasado más de cien años desde que las transformaciones se colocaron en el centro de atención y, sin embargo, incluso hoy en día, muchas personas todavía creen que existe una diferencia fundamental entre la forma primaria y la inversa de la transformación. Creo que entiendo por qué ya que yo era una de esas personas. Me interesé en la física hace dos años, y una de las primeras cosas que hice fue derivar la forma primaria e inversa de la transformación que se presentan a continuación en las Secciones 1 y 2. Los dos conjuntos de ecuaciones de transformación me parecieron considerablemente diferentes, y Concluí erróneamente que eran diferentes. ¡Pero no lo son! Puede usar el conjunto que desee usar; obtendrá la misma respuesta con cualquier conjunto. Sin embargo, la cantidad de matemáticas involucradas puede ser diferente usando un conjunto versus el otro conjunto. I' Estoy bastante seguro de que hay algunos gurús de las matemáticas que pueden captar intuitivamente la equivalencia de las dos formas de la transformación, pero para el resto de nosotros necesitamos pruebas paso a paso para creerlo. Proporciono esa prueba en la Sección 4. Derivo laforma INVERSA de la transformación de la forma PRIMARIA , demostrando así que las dos formas son idénticas. En todas las derivaciones que siguen aplico un $(x,\,y,\,z,\,t)$ sistema de coordenadas de espacio-tiempo al primer observador que llamo Jane, y un $(x',\,y',\,z',\,t')$ sistema de coordenadas del espacio-tiempo al segundo observador al que llamo Dick. Para más información sobre Dick y Jane consulta mi libro |1| sobre la relatividad que está disponible en Amazon.

2.0 La Transformación Primaria. La forma principal de la Transformación de Lorentz se muestra a continuación. Las ecuaciones se derivaron asumiendo que Jane estaba en reposo en el espacio y que Dick estaba en movimiento relativo a Jane a una velocidad v en la dirección positiva de xx' .

\begin{aligned} 2.1 X^{'} & = γ (X - v t) \\ 2.2 y^{'} & = y \\ 2.3 z^{'} & = z \\ 2.4 t^{'} & = γ (t - X v / C^{2}) \\ 2.5 γ & = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} 2.1\qquad x' \quad&=\quad \gamma\,(x - vt)\\ 2.2\qquad y' \quad&=\quad y\\ 2.3\qquad z' \quad&=\quad z\\ 2.4\qquad\, t' \quad&=\quad \gamma ( t - x v/c^{2})\\ 2.5\qquad\, \gamma\quad&=\quad \dfrac{1}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}} \end{align}$

3.0 La Transformación Inversa. La forma inversa de la Transformación de Lorentz se muestra a continuación. Las ecuaciones se derivaron asumiendo que Dick estaba en reposo en el espacio y que Jane estaba en movimiento relativo a Dick a una velocidad v en la dirección negativa xx' .

\begin{aligned} 3.1 X & = γ (X^{'} + v t^{'}) \\ 3.2 y & = y^{'} \\ 3.3 z & = z^{'} \\ 3.4 t & = γ (t^{'} + X^{'} v / C^{2}) \\ 3.5 γ & = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} 3.1\qquad x \quad&=\quad \gamma\,(x' + vt')\\ 3.2\qquad y \quad&=\quad y'\\ 3.3\qquad z \quad&=\quad z'\\ 3.4\qquad\, t \quad&=\quad \gamma (t'+ x' v/c^{2})\\ 3.5\qquad \gamma\quad&=\quad \dfrac{1}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}} \end{align}$ 4.0 Derivando el inverso del primario. La forma principal de la transformación que se muestra en la Sección 2 expresa cada una de las cuatro coordenadas de espacio-tiempo de Dick (variables con prima) en términos de combinaciones de las cuatro coordenadas de espacio-tiempo de Jane (variables sin prima). La forma inversa de la transformación que se muestra en la Sección 3 tiene el formato opuesto. Cada una de las cuatro coordenadas de espacio-tiempo de Jane (variables no primadas) se expresa en términos de combinaciones de las cuatro coordenadas de espaciotiempo de Dick (variables primadas). Los siguientes pasos muestran que la forma inversa se puede derivar de la forma primaria mediante álgebra simple. La derivación paso a paso para mostrar esta equivalencia comienza con la primera ecuación en la Sección 2 como se muestra a continuación.

Expanda el lado derecho de la ecuación (2.1), luego reorganice y resuelva para x como se muestra a continuación.

\begin{aligned} 4.1 X^{'} & = γ X - γ v t \\ 4.2 γ X & = X^{'} + γ v t \\ 4.3 X & = X^{'} / γ + v t \end{aligned}

$\begin{align} 4.1\qquad x'\quad&=\quad \gamma\,x - \gamma\,v\,t\\ 4.2\quad\,\,\,\, \gamma x \quad&=\quad x' + \gamma v t\\ 4.3\qquad\, x \quad&=\quad x'/ \gamma + vt \end{align}$

Expanda el lado derecho de la ecuación (2.4) y resuelva para t como se muestra a continuación.

\begin{aligned} 4.4 t^{'} & = γ t - γ X v / C^{2} \\ 4.5 t & = t^{'} / γ + X v / C^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \,\,\,\,\,4.4\qquad t'\quad&=\quad \gamma t- \gamma x v/c^{2}\\ 4.5\qquad t\quad\,&=\quad t'/\gamma + x v /c^{2} \end{align}$

Sustituya t de la ecuación (4.5) en la ecuación (4.3) como se muestra a continuación.

\begin{aligned} 4.6 X & = X^{'} / γ + v (t^{'} / γ + X v / C^{2}) \\ = X^{'} / γ + v t^{'} / γ + X v^{2} / C^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \qquad\qquad\quad\,4.6\qquad x \quad&=\quad x'/ \gamma + v(t'/\gamma + x v / c^{2})\\ \quad&=\quad x'/ \gamma + v\,t'/\gamma + x v\,^{2} / c^{2} \end{align}$

Reordene la ecuación (4.6) para que los números primos estén a la derecha.

\begin{aligned} 4.7 X (1 - v^{2} / C^{2}) = X^{'} / γ + v t^{'} / γ \end{aligned}

$\begin{align} \qquad\qquad4.7\qquad x(1-v\,^{2} / c^{2})\,=\,x'/ \gamma + v\,t'/\gamma \end{align}$

Aplicar identidad $(1-v\,^{2}/ c^{2})\,=\, 1/\gamma^{2}$ a la ecuación (4.7) luego resuelva para x .

\begin{aligned} 4.8 X / γ^{2} & = X^{'} / γ + v t^{'} / γ \\ 4.9 X & = γ (X^{'} + v t^{'}) \end{aligned}

$\begin{align} \,\,4.8\qquad x/\gamma^{2}\,&=\,x'/ \gamma + v\,t'/\gamma\\ 4.9\qquad\quad\,\,\, x\,&=\quad \gamma (x' + v\,t') \end{align}$

La inversa de las ecuaciones (2.2 y 2.3) es una simple inversión de izquierda a derecha, como se muestra a continuación.

\begin{aligned} 4.10 y & = y^{'} . \\ 4.11 z & = z^{'} . \end{aligned}

$\begin{align} 4.10\qquad y \quad&=\quad y'\qquad\qquad.\\ 4.11\qquad z \quad&=\quad z'\qquad\qquad. \end{align}$

Sustituye x de la ecuación (4.9) en la ecuación (4.5) y luego resuelve la expresión para t . La identidad $1/ \gamma^{2}=1-v^{2}/c^{2}$ se aplica a la mitad de la derivación como se muestra a continuación.

\begin{aligned} 4.12 t & = t^{'} / γ + X v / C^{2} \\ = t^{'} / γ + γ (X^{'} + v t^{'}) v / C^{2} \\ = t^{'} / γ + γ X^{'} v / C^{2} + γ t^{'} v^{2} / C^{2} \\ = γ t^{'} (1 / γ^{2} + v^{2} / C^{2}) + γ X^{'} v / C^{2} \\ = γ t^{'} (1 - v^{2} / C^{2} + v^{2} / C^{2}) + γ X^{'} v / C^{2} \\ = γ t^{'} + γ X^{'} v / C^{2} \\ = γ (t^{'} + X^{'} v / C^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \quad\qquad\qquad\qquad\qquad 4.12\qquad t \quad&=\quad t'/\gamma + x v /c^{2}\\ &=\quad t'/\gamma + \gamma (x' + v\,t') v/c^{2}\\ &=\quad t'/\gamma + \gamma x'v/c^{2} + \gamma \,t'v^{2}/c^{2}\\ &=\quad \gamma t'( 1/\gamma^{2}+ v^{2}/c^{2}) + \gamma \,x'v/c^{2}\\ &=\quad \gamma t'( 1-v^{2}/c^{2}+v^{2}/c^{2}) + \gamma \,x'v/c^{2}\\ &=\quad \gamma t'+ \gamma \,x'v/c^{2}\\ &=\quad \gamma (t'+ x'v/c^{2}) \end{align}$

El $\gamma$ factor en la ecuación (2.5) no es una función de las coordenadas espacio-temporales de Dick y Jane, y es el mismo en ambas formas de transformación.

\begin{aligned} 4.13 γ & = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} 4.13\qquad \gamma\quad&=\quad \dfrac{1}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}} \end{align}$

5.0 Resumen. La concordancia de la derivación en la Sección 4 con la forma inversa de la transformación en la Sección 3 se muestra a continuación.

\begin{aligned} mi q tu a t i o norte (3.1) = mi q tu a t i o norte (4.9) \\ mi q tu a t i o norte (3.2) = mi q tu a t i o norte (4.10) \\ mi q tu a t i o norte (3.3) = mi q tu a t i o norte (4.11) \\ mi q tu a t i o norte (3.4) = mi q tu a t i o norte (4.12) \\ mi q tu a t i o norte (3.5) = mi q tu a t i o norte (4.13) \end{aligned}

$\begin{align} Equation (3.1)\quad = \quad Equation (4.9\,\,)\,\\ Equation (3.2)\quad = \quad Equation (4.10)\\ Equation (3.3)\quad = \quad Equation (4.11)\\ Equation (3.4)\quad = \quad Equation (4.12)\\ Equation (3.5)\quad = \quad Equation (4.13) \end{align}$

La concordancia anterior prueba que las dos formas de la transformación son idénticas y, sin embargo, concluí erróneamente que las dos formas eran diferentes cuando las derivé por primera vez. Mi error de lógica provino de las suposiciones que hice al derivar las dos formas de la transformación. Estaba tratando de imitar la forma en que imaginé que Lorentz habría derivado sus ecuaciones. El hecho de que asumí que Jane estaba en reposo y Dick en movimiento para la primera derivación, y la suposición opuesta para la segunda derivación, me hizo inferir subconscientemente que esta distinción en las diferentes suposiciones impartiría una distinción correspondiente en las dos formas de la transformación. Esta es, por supuesto, una inferencia ilógica. La inferencia correcta es que las transformaciones deben ser compatibles con las condiciones de los supuestos usados para derivarlas, no es que deban imponer las condiciones en los supuestos. Estoy bastante seguro de que no soy el único que ha cometido un error de lógica como ese. Para aquellos de ustedes interesados en la lógica que conduce a laTransformación de Lorentz echa un vistazo a mi libro |1| sobre la agonía de la relatividad de Einstein.

Bibliografía

|1| Richard Alan, Todo lo que siempre quisiste saber sobre Dick, Jane y Mary . "La derivación de la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein con un detalle nauseabundo". Disponible en Amazon .

Ricardo · Answer 3

Han pasado más de cien años desde que La Transformación de Lorentz y la llamada Transformación de Lorentz Inversa fueron puestas en el centro de atención. Uno pensaría que a estas alturas todos se darían cuenta de que las dos transformaciones son absolutamente idénticas, lo que significa que la transformación inversa en realidad no existe. Es una transformación separada solo de nombre; un alias para la Transformación de Lorentz disfrazado por un formato diferente que hace que parezca una transformación diferente. Puedes usar la transformación que quieras. Obtendrás la misma respuesta sin importar cuál elijas.

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