Confusión conceptual sobre la velocidad angular relativa de las partículas en un cuerpo rígido

Permítanme explicar mi duda con la ayuda de un ejemplo, considere un disco de radio 2 R girando con velocidad angular constante ω localizar dos partículas A A una distancia R del centro y B A una distancia 2 R desde el centro, sabemos que ω A = ω y ω B = ω ,También v A = R ω y v B = 2 R ω , ahora ω B / A = v B / A r B / A = ω pero si uso la definición ω = d θ d t obtenemos un resultado contradictorio, ω B / A = d θ d t = 0 desde θ es el ángulo entre la línea que los une que no cambia con el tiempo. Mis dudas

  1. Es ω = d θ d t siempre válido, incluso para marcos giratorios. En caso afirmativo, ¿cómo obtengo la velocidad angular relativa entre las dos partículas solo usando esta definición?
  2. ¿Estoy cometiendo algún error de concepto?

EDICIÓN 1: para un cuerpo rígido, podemos decir que cada punto gira en relación con otro punto del cuerpo rígido con la misma velocidad angular en un instante dado. Entonces ω B / A es de hecho igual a ω .Entonces, ¿por qué se produce la contradicción?

EDICIÓN 2: https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/notes_old/RigidKinematics/rigkin.htm Consulte este enlace y consulte la sección 5.1.3 donde derivan ecuaciones que rigen el movimiento del plano general, también han usado ω B / A = ω del cuerpo rígido donde A y B son dos puntos arbitrarios cualesquiera.

EDIT 3: Ver que la ecuación v A = v B + ω B / A × r A / B dónde ω B / A = ω además si transformamos la ecuación podemos ver v B = v A + ω × r B / A por lo tanto, concluyendo mi punto de que ω B / A = ω A / B = ω

EDICIÓN 4: también puede ver lo que estoy tratando de decir aquí https://en.m.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity en Consideración de cuerpo rígido, Consistencia.

EDIT 5: Aquí hay algunos enlaces más para apoyar ω B / A = ω

  1. Velocidad angular relativa de un punto con respecto a otro punto
  2. Velocidad angular sobre un punto arbitrario

"Considere un cuerpo rígido que gira con velocidad angular ω . Ahora bien, sabemos que esto ω es una propiedad intrínseca del cuerpo rígido, en el sentido de que: Cada punto del cuerpo rígido gira con ω con respecto a cualquier otro punto del cuerpo rígido. "

  1. Velocidad angular relativa

  2. "Una característica importante del momento angular de espín es que es independiente del sistema de coordenadas. En este sentido, es intrínseco al cuerpo; ningún cambio en el sistema de coordenadas puede eliminar el espín, mientras que el momento angular orbital desaparece si se elige que el origen se encuentre a lo largo de la línea de movimiento". , Fuente: Libro de texto de introducción a la mecánica de Daniel Kleppner y Robert J. Kolenkow.

Sí, tiene usted razón
Creo que el problema está en tu definición de velocidad angular relativa, es ω B − ω A , no ( v B − v A ) / ( r B − r A )

Respuestas (2)

El error aquí está en la definición fundamental de velocidad angular relativa.

La velocidad angular relativa de B con respecto a A se define como:

ω B A = ω B − ω A
Desde v = r ω podemos decir
ω B A = v B r b − v A r A
que es muy diferente de v B A r B A matemáticamente.

Al evaluar ω B A = v B r b − v A r A obtenemos la respuesta cero que es consistente con los resultados dados por ω = d θ d t . Así la definición

ω = d θ d t
es absolutamente correcto

EDITAR

En el enlace adjunto dice: "Examinaremos el movimiento de este cuerpo en ambos, la referencia fija O que se muestra, así como en relación con una referencia no giratoria adjunta al punto B ". Esto significa que la rotación del cuerpo es sobre el punto B. Entonces ω B es prácticamente cero mientras ω A es igual a ω .Entonces

ω A B = ω A − ω B
ω A B = ω − 0 = ω

Pero si consideras el escenario que he presentado en el diagrama donde la rotación no gira sobre el punto A o B sino sobre el centro, los resultados son consistentes con mis explicaciones.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Para otra comprensión intuitiva, piense en cómo la Tierra gira sobre su eje, pero para nosotros todo parece estar en reposo en todo momento.

Pero para un cuerpo rígido podemos decir que cada punto gira en relación con otro punto del cuerpo rígido con la misma velocidad angular en un instante dado
No. Un cuerpo rígido se define de tal manera que la distancia entre dos de sus puntos tiene la misma distancia en cualquier momento. Dado que la distancia (posición relativa) entre dos puntos cualesquiera es fija, tanto la velocidad de traslación relativa como la velocidad angular relativa son cero.
¿Por qué la velocidad angular relativa debe ser cero? La distancia entre todas las partículas es fija incluso cuando giran con el mismo ω escríbanse unos a otros.
@Möbius, mira las ediciones que hice.
@Möbius, coloquemos un observador en A mirando hacia el norte ahora, después del tiempo t, mirará solo hacia el norte y para observar B tiene que girar la cabeza constantemente a velocidad angular ω observar B en todo momento. Y por favor revisa mi Edit 4 también
Después de un tiempo, si el observador sigue mirando hacia el norte, eso significa que tiene una velocidad angular cero. Pero B ha movido el ángulo theta en este tiempo. Entonces, el ángulo entre A y B es theta que se ha cubierto en el tiempo t. Entonces, con respecto a la velocidad angular A de B es theta/t igual a omega. Esto no concuerda con mi explicación porque en mi ejemplo, el observador en A gira con A, por lo que él también tiene una velocidad angular omega tiene una velocidad angular relativa cero. Pero aquí el observador en A no gira con A, por lo que su velocidad angular es cero, lo que hace que la velocidad angular relativa sea omega
Déjame saber lo que piensas
si por eso digo ω B / A es ω cuando observamos B desde A, nuestro observador debería estar en reposo con respecto a A, en ese caso, mi resultado sigue, mientras que en su ejemplo hace que el observador también gire con respecto a A, lo que a su vez no implica que esté observando B con respecto a A.
Su error está en la comprensión del marco de referencia. El marco de referencia fijo en A desde el cual observamos B en realidad gira con A al igual que usted gira con la Tierra y todo lo que observa en la superficie del planeta también gira. Pero si desea que el marco de referencia no gire, debe especificarlo como se especificó en el enlace diciendo "un marco de referencia no giratorio en A" con especial énfasis en no rotar. Si no lo dice eso por defecto significa que su marco de referencia gira con A.
Entonces, ¿qué pasa con todos los enlaces que agregué en EDIT 5 dicen lo mismo?
@Möbius deja mi interpretación solo revisa las ediciones 4 y 5 por favor
Dime, si cada punto en la superficie de un cuerpo giratorio tiene una velocidad angular omega con respecto a cualquier otro punto en la superficie de ese cuerpo, ¿cómo es que la tierra gira sobre su eje pero vemos todos los árboles y edificios estacionarios?
La declaración es válida solo para marcos de referencia no giratorios, pero B es un marco de referencia giratorio. Además, el nuestro es un caso de momento angular orbital que no gira el momento angular porque, aunque el disco está girando, los puntos A y B están orbitando alrededor del centro.

θ se mide en el sistema de referencia fijo, incluso si se mide entre los dos puntos A y B, cambia cuando el disco gira: no es cero.

sin embargo, con el sistema de referencia giratorio del disco en sí, la velocidad angular de los puntos del disco es cero porque el disco es rígido... si el disco fuera "blando" o fluido, las cosas serían diferentes y podrían seguir un vórtice con velocidades angulares no uniformes.

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