la velocidad angular

Dado algún punto central$\vec c_1$, la velocidad de este punto$\vec v_{c_1}$con respecto a algún marco de referencia, y una velocidad angular$\vec\omega$, la velocidad de algún otro punto$\vec x$sobre un cuerpo rígido es$\vec v_x = \vec v_{c_1} + \vec\omega \times (\vec x - \vec c_1)$.

¿Qué pasa si algún otro punto$\vec c_2$se elige como punto central? La expresión de la velocidad del punto$\vec x$se convierte$\vec v_x = \vec v_{c_2} + \vec\omega \times (\vec x - \vec c_2)$, dónde$\vec v_{c_2} = \vec v_{c_1} + \vec\omega \times (\vec c_2 - \vec c_1)$. La velocidad angular no cambia. Es lo mismo independientemente del punto que uno elija como punto central. La velocidad angular es un vector libre.

Actualización, porque lo anterior aparentemente no es satisfactorio para algunos

Un cuerpo rígido es un objeto para el cual existe un marco de referencia tal que la ubicación de cada punto en el cuerpo rígido es constante desde la perspectiva de este marco. En otras palabras,$(\frac {d\boldsymbol x}{dt})_F = 0$por cada punto$x$en el cuerpo rígido, con la derivada tomada desde la perspectiva del marco fijo$F$.

Supongamos que en algún momento$t$conoces la ubicación$\boldsymbol X(\boldsymbol c,t)$de algún punto fijo$\boldsymbol c$en el cuerpo rígido en algún otro marco de referencia$I$. La ubicación del punto$\boldsymbol x$en este otro marco está relacionado con la ubicación del punto$\boldsymbol c$a través de

$$\boldsymbol X(\boldsymbol x,t) = \boldsymbol X(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c) \tag{1}$$ dónde $\boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)$es la matriz de rotación que transforma las coordenadas del marco $F$enmarcar $I$.

Supongamos que conoces algún otro punto.$\boldsymbol c'$, también fijo con respecto al cuerpo rígido. La ubicación del punto$\boldsymbol c'$en el marco no fijo es

$$\boldsymbol X(\boldsymbol c',t) = \boldsymbol X(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)(\boldsymbol c' - \boldsymbol c)\tag2$$ La ubicación del punto $\boldsymbol x$en el marco no fijo se puede volver a expresar en términos de $\boldsymbol c'$: $$\boldsymbol X(\boldsymbol x,t) = \boldsymbol X(\boldsymbol c',t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c') \tag{3}$$ Derivando las ecuaciones (1) y (3) con respecto al tiempo se obtiene $$\dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol x,t) = \dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol c,t) + \dot{\boldsymbol{\mathrm R}}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c) = \dot{\boldsymbol X}(\boldsymbol c',t) + \dot {\boldsymbol{\mathrm R}}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c') \tag4$$ La derivada temporal de una matriz de transformación $\boldsymbol{\mathrm R}(t)$de un marco cartesiano a otro se puede escribir como un producto de esa matriz y una matriz simétrica sesgada: $$\dot{\boldsymbol{\mathrm R}}(t) = \boldsymbol{\mathrm R}(t) \boldsymbol{\mathrm S}(t)$$ Esto es válido para un espacio euclidiano de cualquier dimensionalidad. En el espacio tridimensional (y solo en el espacio tridimensional), una matriz simétrica sesgada de este tipo se puede mapear hacia y desde un pseudo vector tridimensional: $$\dot{\boldsymbol{\mathrm R}}(t) = \boldsymbol{\mathrm R}(t) \operatorname{Sk}(\boldsymbol\omega(t))$$ Reescribiendo la ecuación (4) en términos de este pseudo vector, $$\dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol x,t) = \dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)\left(\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c)\right) = \dot{\boldsymbol X}(\boldsymbol c',t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)\left(\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c')\right)\tag5$$ Sin pérdida de generalidad, se puede elegir un marco no fijo que se alinee instantáneamente con el marco fijo en el momento $t$. Con esto, la ecuación (5) se reduce a $$\dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol x,t) = \dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c) = \dot{\boldsymbol X}(\boldsymbol c',t) + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c')\tag6$$ Esto es, por supuesto, idéntico a lo que escribí originalmente.

Esa velocidad angular expresada como una matriz simétrica oblicua es la misma independientemente del punto que se elija como origen y se aplica en todos los espacios euclidianos en los que el tiempo es el parámetro independiente del movimiento. La velocidad angular está relacionada con la derivada temporal de la matriz de transformación, y cambiar los orígenes no cambia la matriz de transformación en una transformación afín (p. ej., las ecuaciones (1) a (3) son transformaciones afines).

Esa velocidad angular expresada como un pseudo vector es la misma, independientemente del punto que se elija como origen, se aplica solo en espacios euclidianos tridimensionales en los que el tiempo es el parámetro independiente del movimiento. Esa especialización es bastante importante porque aparentemente vivimos en un universo que localmente parece ser un espacio euclidiano tridimensional con el tiempo como parámetro independiente de movimiento. En otras palabras, vivimos en un universo donde la mecánica newtoniana es localmente válida. Este es el contexto en el que se hizo esta pregunta y en el que escribí esta respuesta.

¿La velocidad angular de un cuerpo rígido con respecto a cualquier punto es la misma que con respecto al eje de rotación?

La velocidad angular no sería la misma para otros puntos de referencia.

Esto se debe a que el eje de rotación es el único lugar en el espacio al que cualquier punto de un cuerpo rígido mantendrá la misma distancia (radio de rotación) a lo largo de la rotación y, por lo tanto, la misma relación entre las velocidades lineal y angular.

Dado que el radio de rotación para cualquier otro punto de referencia cambiará, la relación entre las velocidades lineal y angular también cambiará, por lo que, dadas las mismas velocidades lineales, las velocidades angulares tendrían que ser diferentes.

Además, ¿podemos incluso definir términos angulares (velocidad angular, aceleración angular, etc.) sobre cualquier eje, que no sea el eje de rotación?

Según Wikipedia, "la velocidad angular de una partícula es la velocidad a la que gira alrededor de un punto central elegido".

Si no imponemos ninguna otra restricción, no hay ninguna razón obvia por la que la velocidad angular no pueda medirse en relación con ningún punto fijo en el espacio. Si no se fija ese punto, definir y medir el ángulo entre radios subsiguientes sería problemático. Según esa lógica, un punto de referencia alternativo no debería estar en el cuerpo giratorio.

Con tal definición, la velocidad angular instantánea se puede medir para cualquier trayectoria, no solo circular.

Por supuesto, si interpretamos la palabra "centro" en la definición como un punto que debe permanecer a la misma distancia de cualquier punto giratorio dado, no podremos definir la velocidad angular con respecto a ningún otro punto en el espacio.

Agregar un diagrama para mayor claridad.

Aquí$\omega$es la velocidad angular constante original de cualquier punto de un cuerpo rígido giratorio definido en relación con el centro de rotación$p_1$, mientras$\omega'$es una velocidad angular variable definida para el mismo punto del cuerpo rígido giratorio en relación con un punto fijo aleatorio en el espacio,$p_2$. Obviamente,$\omega'\ne \omega$.