Conexión entre partículas y campos y representación spinor del grupo de Poincaré

Question

Conexión entre partículas y campos y representación spinor del grupo de Poincaré

Anónimo

Tengamos una definición de partícula masiva como una representación irreductible del grupo de Poincaré. Entonces, tengamos un campo espinoso $\psi_{\alpha \alpha_{1}...\alpha_{n - 1}\dot {\beta} \dot {\beta}_{1}...\dot {\beta}_{m - 1}}$ , que es igual a $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ representación del grupo Lorentz. Existe el teorema difícilmente demostrable:

$\psi_{\alpha \alpha_{1}...\alpha_{n - 1}\dot {\beta} \dot {\beta}_{1}...\dot {\beta}_{m - 1}}$ realiza la representación irreductible del grupo de Poincaré, si

(\partial^{2} - {metro}^{2}) ψ_{α α_{1} . . . α_{norte - 1} \dot{β} {\dot{β}}_{1} . . . {\dot{β}}_{metro - 1}} = 0,

$(\partial^{2} - m^{2})\psi_{\alpha \alpha_{1}...\alpha_{n - 1}\dot {\beta} \dot {\beta}_{1}...\dot {\beta}_{m - 1}} = 0,$

\partial^{α \dot{β}} ψ_{α α_{1} . . . α_{norte - 1} \dot{β} {\dot{β}}_{1} . . . {\dot{β}}_{metro - 1}} = 0.

$\partial^{\alpha \dot {\beta}}\psi_{\alpha \alpha_{1}...\alpha_{n - 1}\dot {\beta} \dot {\beta}_{1}...\dot {\beta}_{m - 1}} = 0.$ ¿Se puede interpretar este teorema como una conexión entre campos y partículas?

Respuestas (1)

Conexión entre partículas y campos y representación spinor del grupo de Poincaré

John · Answer 1

La definición es que una partícula en el espacio de Minkowski es una representación irreducible unitaria del grupo de Poincaré. Entonces, uno necesita ver cómo varias PDE están relacionadas con la clasificación de representaciones unitarias irreducibles de $iso(3,1)$ o $iso(d-1,1)$ En el caso de $d$ -dimensiones en lugar de $4$ .

Tenga en cuenta que estas son todas las restricciones invariantes de Poincaré que se pueden imponer en el campo dado sin trivializar el espacio de solución (se podría imponer $\partial \psi=0$ (gradiente), que es invariante de Poincaré pero demasiado fuerte ya que el campo debe ser una constante).

El teorema no es difícil de probar. Hay que saber cómo construir representaciones irreducibles del grupo de Poincaré, véase el capítulo 2 del libro de texto QFT de Weinberg. Luego, se resuelven las ecuaciones mediante la transformada estándar de Fourier y se muestra que el espacio de solución de hecho es equivalente a lo que se llama un spin- $m$ partícula en el espacio de Minkowski.

No hay nada especial en $4d$ en la definición de giro- $m$ campo, por lo que es más simple mirar la dimensión arbitraria, donde, por ejemplo, para los bosones, las ecuaciones anteriores son equivalentes a

$(\square-m^2)\phi_{\mu_1...\mu_m}=0$

$\partial_\nu \phi^{\nu \mu_2...\mu_m}=0$

$\eta_{\nu\rho} \phi^{\nu\rho \mu_3...\mu_m}=0$

$\phi^{\mu_1...\mu_s}$ es totalmente simétrica en todos los índices.

En $4d$ uno puede usar $so(3,1)\sim sl(2,C)$ y la última restricción algebraica se trivializa: un tensor de espín irreducible es equivalente a un tensor de espín irreducible $so(3,1)$ -tensor

"...El teorema no es difícil de probar...", - No leí esta parte del libro de Weinberg y solo usé la representación espinorial del grupo de Lorentz (sin usar algunas ecuaciones). Después de completar la prueba, puedo construir una ecuación de campo a partir de esta equivalencia para casos de espín arbitrario.
Solo un comentario, la correspondencia entre PDE razonables y partículas no es uno a uno. Una misma partícula puede describirse de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, un espín uno, un fotón, se puede describir con la ayuda del potencial de calibre $A_\mu$ o intensidad de campo $F_{\mu\nu}$
Porque hay tres representaciones del giro 1: $\left( 1, 0 \right), \left( 0, 1\right), \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ .
es aún peor, hay infinitas formas de describir una partícula dada, puede sentarse como una subrepresentación. No entendí si respondí a tu pregunta anterior o no.

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Anónimo

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