Coeficientes OPE de primarios en un CFT 2D

Estoy tratando de calcular los coeficientes OPE en un CFT 2D y me estoy convenciendo de algo que sé que no es cierto pero no puedo encontrar mi error.

Dadas las primarias$V_{\Delta_1}$y$V_{\Delta_2}$Yo sé eso

Dónde$\Delta$recorre todos los campos de mi álgebra, primarios y descendientes. Hasta aquí lo sé, aquí comienza mi conjetura. Dado que esto es válido como una ecuación de operador, también debería serlo para los valores esperados. Así que sé

$\langle V_{\Delta_1}(z_1)V_{\Delta_2}(z_2) \rangle = \displaystyle\sum_\Delta C_{12}^\Delta(z_1,z_2)\langle V_{\Delta}(z_2) \rangle$

Ahora sé por las identidades de los barrios globales que

$\langle V_{\Delta_1}(z_1)V_{\Delta_2}(z_2) \rangle = \delta_{\Delta_1 \Delta_2 }|z_{12}|^{-2\Delta_1}$

Donde he normalizado mis campos para que el coeficiente general en la función de 2 puntos sea 1. Todo esto combinado me dice que

$\delta_{\Delta_1 \Delta_2 }|z_{12}|^{-2\Delta_1} = \displaystyle\sum_\Delta C_{12}^\Delta(z_1,z_2)\langle V_{\Delta}(z_2) \rangle$

Entonces para calcular$C_{12}^\Delta(z_1,z_2)$necesito saber que es eso$\langle V_{\Delta}(z) \rangle$puede ser. Nuevamente, usando identidades de barrios globales, sé que para las primarias$\langle V_{\Delta}(z) \rangle = 0$a menos que$\Delta = 0$en cuyo caso es una constante. asi que eso ya lo se$C_{12}^\Delta(z_1,z_2) = 0$para cualquier primaria$\Delta \neq 0$. Ahora pasamos a los descendientes. Yo sé eso

$\langle L_{-n} V_{\Delta}(z) \rangle = \left[ \frac{\partial_z}{z^{n-1}} +\frac{(n-1\Delta)}{z^n} \right] \langle V_{\Delta}(z) \rangle$

Si$\Delta = 0$entonces$\langle V_{\Delta}(z) \rangle$es una constante entonces$\partial \langle V_{\Delta}(z) \rangle = 0$y desde$\Delta = 0$yo tambien se que$\Delta \langle V_{\Delta}(z) \rangle = 0$. Si$\Delta \neq 0$entonces$\langle V_{\Delta}(z) \rangle = 0$, así que no recibo contribuciones.

Parece entonces que el único no cero$C_{12}^\Delta(z_1,z_2)$es$C_{11}^0(z_1,z_2)$que puedo pasar

$\delta_{\Delta_1 \Delta_2 }|z_{12}|^{-2\Delta_1} = C_{11}^0(z_1,z_2)\langle V_{0}(z_2) \rangle$

y entonces$C_{11}^0(z_1,z_2) = |z_{12}|^{-2\Delta_1}$(hasta una constante), pero esto es incorrecto, de hecho sé que hay aportes de$\langle L_{-1} V_{\Delta}(z) \rangle$, pero donde esta mi error?