Con respecto al uso de la notación de suma del hamiltoniano de Dirac:

Notación de suma de Einstein, tal como la entiendo:
escribiendo A i B i uno significa implícitamente una suma de elementos de los tensores A y B de rango 1. La clave es la contracción de un índice "hacia arriba" y "hacia abajo". En un formalismo donde una métrica sube/baja deberíamos ver esto como un producto interno, donde la métrica codifica la información de cómo se toma un producto interno en tal espacio.

Esta notación es una herramienta conveniente que empleo a diario. Sin embargo, el hamiltoniano para la ecuación de Dirac de QFT se puede escribir:

H = α i pag i + β metro
¿Dos índices hacia abajo? ¿Resumidos juntos?

Ahora, en este caso estamos considerando un espacio-tiempo plano de Minkowski con i sumando solo los índices espaciales. Como tal, podemos subir y bajar los índices de forma "gratuita" con una métrica euclidiana.

¿No es esto un abuso de notación? ¿Esta no es la convención de suma de Einstein sino una notación de suma bastarda en la que simplemente no escribimos símbolos de suma?

Seguramente sería más explícito escribir:

H = α i pag i + β metro

¿Estoy aquí? ¿Estoy teniendo algún tipo de colapso mental matemático? ¿Ambos?

Como la métrica euclidiana es solo la matriz identidad, no hay necesidad de distinguir entre índices ascendentes y descendentes en este caso,

Respuestas (2)

Siempre que comprenda lo que quiere decir, puede usar la notación que desee. Por ejemplo, cuando escribes pag i α i podrías querer decir

pag i α i ≡ pag 1 α 1 + pag 2 α 2 + pag 3 α 3
o
pag i α i ≡ − pag 1 α 1 − pag 2 α 2 − pag 3 α 3
o cualquier otra convención que desee seguir. Pero tan pronto como desee compartir sus resultados con otros, debe explicar claramente lo que quiere decir con alguna expresión.

Por ejemplo, la combinación

a 0 b 0 − a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3
es muy útil. Algunas personas escribirán a m b m para esta combinación particular, mientras que algunos otros escribirán a m b m en cambio.

Si estás calculando algo por ti mismo, escribe lo que te parezca mejor. Al escribir algo para otra persona, siempre debe definir sus símbolos (a menos que sea realmente obvio lo que significa algo).

Para mi gusto, un par de índices se suman si y solo si uno es un índice superior y el otro es un índice inferior. Pero muchas personas supondrán que un par de índices repetidos siempre se suman, independientemente de su posición.

Gracias supuse que ese era el caso. Mi principal queja es que también he visto a gente escribir a i b i con i como índice gratuito: ¡locos!

Como se señaló, estamos en el espacio euclidiano, por lo que la métrica es la matriz unitaria. I , si estás en el espacio de Minkowski, cosas similares suceden con gramo m v = ± ( + , − , − , − ) I (No se preocupe por el letrero siempre que se ciña a una convención). Puede haber otras métricas en relatividad general, pero mientras no esté en GR, puede ignorar la posición de los índices.

Con respecto al uso de la notación de suma del hamiltoniano de Dirac:
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