Comprensión del haz de fibras de la función de onda.

Question

Comprensión del haz de fibras de la función de onda.

Oro

Usualmente la gente dice que dada una función de onda $\Psi$ a pesar de $|\Psi(\cdot, t)|^2$ es la densidad de probabilidad para la variable aleatoria de posición en el tiempo $t$ , la función de onda $\Psi$ en sí mismo no tiene significado físico. Ocurre, sin embargo, que si $M$ es el espacio-tiempo, entonces sabemos que $\Psi : M\to \mathbb{C}$ . En ese escenario, si se considera $E = M\times \mathbb{C}$ y $\pi : E\to M$ dada por $\pi(a, z)=a$ entonces $(E,M,\pi)$ es el paquete trivial con fibra típica $\mathbb{C}$

En ese caso, si dejamos $s\in \Gamma(E)$ ser una sección del paquete, tenemos $s(a)=(a,\xi(a))$ . En ese caso, la función de onda se puede considerar como una sección del paquete $\Psi(a)=(a,\xi(a))$ dónde $\xi(a)$ es lo que llamamos función de onda anteriormente.

En ese caso, parece que estamos, en cada punto del espacio-tiempo, conectando una copia del plano y estableciendo un vector en el plano. Este vector es la función de onda en el punto.

Es tentador, por lo tanto, generalizar esto un poco más y considerar un fibrado vectorial general $(E,M,\pi)$ dónde $M$ es espacio-tiempo y $\mathbb{C}$ es la tipica fibra, solo que esta vez permitimos torceduras. Entonces localmente, dado un evento $a\in M$ hay un conjunto abierto $U\subset M$ con una banalización local $\varphi : \pi^{-1}(U)\to U\times \mathbb{C}$ donde los argumentos funcionan como antes.

Entonces mi pregunta es: ¿esta forma de ver la función de onda tiene alguna ventaja? ¿La generalización para permitir paquetes no triviales da algo útil? ¿Este punto de vista permite comprender el significado de la propia función de onda?

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Comprensión del haz de fibras de la función de onda.

una mente curiosa · Answer 1

Sus afirmaciones iniciales no son correctas. La función de onda habitual no es una función del espacio-tiempo, por dos razones: no es invariante de Lorentz (el tiempo está aislado, por lo que no es una función de un punto en una variedad de espacio-tiempo, y ni siquiera depende del tiempo en absoluto en el imagen de Heisenberg) y puede depender de más de un "conjunto" de posiciones - para un sistema de $n$ partículas en $d$ dimensiones espaciales, la función de onda dependerá de $n\cdot d$ variables de posición. Por lo tanto, verlo como una sección de algo sobre el espacio-tiempo es inapropiado.

Si desea entender un estado cuántico como la sección de un haz de líneas complejo, eso es posible mediante el procedimiento de cuantización geométrica .

Dejar $X$ sea el espacio de fase clásico con forma simpléctica $\omega$ .

El paquete de líneas real que debe considerar es el paquete de líneas precuántico , que es un paquete de líneas sobre el espacio de fase equipado con un $\mathrm{U}(1)$ -conexión $\nabla$ tal que la curvatura de la conexión es la forma simpléctica $\omega$ . Si ahora tiene una opción de polarización en el espacio de fase, es decir, una división de las coordenadas en posiciones $q$ y momentos $p$ , las funciones de onda reales de la mecánica cuántica son las secciones del haz de líneas precuánticas que solo dependen de la posición, es decir, son constantes en superficies de constante $q$ . ¹

Si te preguntas dónde está aquí la evolución del tiempo: Solo hemos dicho qué es el espacio de estados . Por supuesto, la evolución temporal está dada por el operador unitario generado por el hamiltoniano (que está codificado en $\omega$ ) actuando sobre este espacio de estados. Genéricamente, la acción de la versión cuántica de un espacio de fase observable $f$ viene dada por la derivada covariante (definida por la conexión $\nabla$ ) de la sección a lo largo del campo vectorial $X_f$ asociado a $f$ por $\mathrm{d}f(\dot{}) = \omega(X_f,\dot{})$ . Más precisamente, $f$ actúa sobre una sección $\psi$ como

\hat{F} (ψ) = i \nabla_{X_{F}} ψ + F \cdot ψ

$\hat{f}(\psi) = \mathrm{i}\nabla_{X_f}\psi + f\cdot\psi$

dónde $\hat{f}$ es ahora el operador (pre-)cuántico asociado a $f$ .

Ahora, por último, para la (no) trivialidad del paquete:

Nada prohíbe que el haz de líneas precuántico no sea trivial, pero el espacio de fase clásico debe tener una cohomología no trivial para eso: los haces de líneas complejos se caracterizan completamente por su primera clase Chern, que es un elemento en $H^2(X,\mathbb{Z})$ . Por lo tanto, en la mayoría de las situaciones que encontrará en las aplicaciones típicas de la mecánica cuántica (donde el espacio de fase es solo un espacio vectorial simpléctico y, por lo tanto, en particular contráctil, por lo que la mayoría de las cohomologías desaparecen), el paquete de líneas precuánticas será trivial.

^{¹ Además, deben ser integrables al cuadrado en un sentido apropiado. Esto requiere discutir cómo equipamos el espacio de secciones con una estructura de espacio de Hilbert y contra qué medida integramos; estas elecciones se realizan mediante una corrección metapléctica .}

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Oro

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una mente curiosa

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