Notación

$\renewcommand{braket}[2]{\langle #1 | #2 \rangle}$Primero, definamos el término "forma 1":

Una forma 1 es una función lineal que toma un solo vector como argumento.

Eso es. No es más confuso o complicado que esa sola declaración. Considere un vector$v$. Dado cualquier otro vector$w$podemos formar el producto interior$\braket{v}{w}$. Tenga en cuenta que

$$\braket{v}{a w + b x} = a \braket{v}{w} + b \braket{v}{x} \, .$$

Por lo tanto, la función$f_v$definido por la ecuación

$$f_v(w) = \braket{v}{w}$$

es una función que toma un solo vector y es lineal en su argumento. En otras palabras,$f_v$es una forma 1. De esta discusión se puede ver que cualquier vector$v$está directamente asociado a una forma 1$f_v$definido por la ecuación$f_v(x) = \braket{v}{x}$. Tenga en cuenta que las formas 1 también se denominan covectores , y la forma 1$f_v$asociado a vector$v$se llama el vector dual o simplemente dual de$v$.

Ahora cambiamos a usar negrita para los vectores para mantener la coherencia con la publicación original.

Considere una onda plana expresada como$\exp[i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}]$. La cosa en el exponente es el producto interno de un vector de onda.$\mathbf{k}$con el vector de posición$\mathbf{x}$. De hecho podemos escribir la ola de forma sugerente

$$\begin{align} \exp \left[ i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} \right] &= \exp \left[ i \braket{\mathbf{k}}{\mathbf{x}} \right] \\ &= \exp \left[ i f_\mathbf{k}(\mathbf{x)} \right] \end{align}$$

dónde$f_\mathbf{k}$es una forma 1 como se describe arriba.

Parece que para aclarar la notación su libro pone un$\tilde{}$encima de los símbolos para indicar que algo es una forma de 1 en lugar de un vector. En otras palabras, donde escribo$f_\mathbf{k}$tu libro escribe$\tilde{\mathbf{k}}$. De hecho yo diría que la notación$\braket{\tilde{\mathbf{k}}}{\mathbf{x}}$usado por su libro no es tan bueno porque normalmente el símbolo$\braket{\cdot}{\cdot}$se utiliza para denotar el producto interno de dos vectores . Es un poco extraño escribirlo con un formulario 1 a la izquierda. Sin embargo, podemos reinterpretar el símbolo$\braket{\tilde{\mathbf{k}}}{\mathbf{x}}$como$\braket{\mathbf{k}}{\mathbf{x}}$o$f_\mathbf{k}(\mathbf{x})$.

Significado físico

Ahora discutimos el significado físico de$\tilde{\mathbf{k}}$. Como dice su libro, cuando alimenta este 1-forma un vector$\mathbf{v}$, te dice el número de ciclos por los que pasa la onda a medida que te mueves por el desplazamiento$\mathbf{x}$. Es una forma 1 por la sencilla razón de que come un vector y produce un número, y es lineal en el argumento. Eso es todo, es solo una definición. Como dice tu libro, puedes imaginarte la forma 1$\tilde{\mathbf{k}}$como un conjunto de planos porque contar el número de planos atravesados ​​por un$\mathbf{x}$da el mismo resultado que$\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}$, como se muestra en el diagrama.

Resumen

1. Una forma 1 es solo una función lineal de un vector.

2. cada vector$v$está asociado de forma única a una forma 1$f_v$definido por la ecuación$f_v(x) = \braket{v}{x} = v \cdot x$.

3. Una imagen geométrica de la forma 1.$f_k$es una serie de planos paralelos espaciados por la distancia$2 \pi / |k|$, y el número$f_k(x)$es el número de planos atravesados ​​por el vector$x$.

Suponga que tiene un sistema de coordenadas sesgado, con vectores que tienen componentes$v^i$definido en relación con algunos vectores base$\hat e_i$tal que$\vec v = v^i \hat e_i$en la convención de suma de Einstein (sumamos sobre cualquier índice que se repite una vez arriba, una vez abajo).

El significado de un sistema de coordenadas sesgado es que$\hat e_i \cdot \hat e_j \ne \delta_{ij}$para el delta de Kronecker$\delta_{ij} = \{1\text{ if }i = k,\text{ else } 0\}.$Esto interfiere con nuestra agradable fórmula de producto punto; no mas podemos decir con mucha tranquilidad

$$\vec u\cdot\vec v = \sum_i u^i~v^i$$ porque eso ya no es cierto. En cambio, tenemos: $$\vec u\cdot\vec v = u^i~v^j~(\hat e_i \cdot \hat e_j)$$ lo que significa que hay una matriz simétrica $g_{ij} = \hat e_i \cdot \hat e_j$que gobierna tales productos internos. Esta matriz se llama la métrica .

La métrica es simétrica y tiene una matriz inversa que podemos escribir como$g^{ij}$definido por$g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k$, donde ahora tenemos un Kronecker "correcto"$\delta$expresión. Esto se puede utilizar para definir la base dual.

$$\hat e^k = g^{ki}~\hat e_i,$$ que tiene la propiedad definitoria de que $\hat e^i \cdot \hat e_j = \delta^i_j.$En otras palabras, para encontrar el vector dual a $\hat e_1$, encontramos un vector $\vec u^1$que es perpendicular a $\hat e_2, \hat e_3, \dots$y luego escalarlo a $\hat e^1 = k~\vec u^1$por elección $k$tal que $\hat e^1 \cdot \hat e_1 = 1$. [Si no le gusta la inversión de matriz o está haciendo todo esto en un espacio no plano, si ese espacio tiene una orientación (un tensor antisimétrico que es un mapa lineal de $n$vectores a un escalar, donde $n$es la dimensión de los espacios tangentes), puede usar eso para crear una forma única que mapea esos otros vectores base a cero.]

Entonces el vector$\vec u = u^i ~\hat e_i$también se puede escribir como$u_i~\hat e^i$dónde$u_i = g_{ij} u^j$y la forma agradable y simple del producto punto se puede restaurar como

$$\vec u \cdot \vec v = u_i v^i = u^i v_i.$$ Ahora, cuando empiezas a escribir expresiones familiares en una red cristalina, $$\psi = e^{i(~\vec k~\cdot~\vec x ~-~ \omega~t~)}$$ Con nuestro nuevo formalismo expresaríamos su vector de posición $\vec x = x^i ~\hat e_i$y entonces el "espacio" natural en el que viven sus números de onda es el espacio dual. Resulta que este también es el espacio natural para las derivadas: la diferencial de una función sigue siendo $$df = f(\vec x + d\vec x) - f(\vec x) \approx \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i} ~ dx^i$$ lo que significa que los componentes $\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)_{\{x^j,j\ne i\}}$(derivadas parciales con respecto a $x^i$sosteniendo todo el otro $x^j$constante) debe transformarse como se transforman los covectores, por lo que esto se puede escribir simplemente como $$df = (\partial_i f)~dx^i.$$ El operador de momento cuántico típico es $\hat p_i = -i~\hbar\partial_i$. Aplicando esto como $p_a = -i \hbar \partial_a \exp\left[i~\big(k_b x^b - \omega t\big)\right]$da un impulso de covector que actúa sobre $v$como $\langle p, v\rangle$.

No estoy 100% seguro de si eso ayuda, pero espero que les dé una idea de cómo la idea de los espacios duales se conecta con la física. Además, si está interesado en utilizar las sumas de Einstein sin una referencia explícita a las coordenadas, hay algo llamado "notación de índice abstracto" que debe consultar.

Precaución : muchos textos de física del estado sólido definen$\hat e^i \cdot \hat e_j = 2\pi~\delta^i_j$, para guardar un$2\pi$en algunas expresiones exponenciales. Ten cuidado cuando veas estas cosas.

El nombre "1 formulario" solo se usa porque hay 2 formularios y 3 formularios y así sucesivamente. Un nombre equivalente pero probablemente mejor para formas 1 en este caso es el de "vector dual". Cualquier espacio vectorial tendrá asociado el espacio dual que consta de todas las funciones lineales que transforman vectores en escalares.

Esto es todo lo que un vector dual es: una cosa que transforma linealmente los vectores en escalares.

Pero a la gente le gusta tener ayudas visuales. Sigamos con el 2D. Si piensa en los vectores como flechas, hay una imagen análoga de vectores duales como líneas de contorno. O más bien, si la colección de muchas flechas representa un campo vectorial, la colección de muchas curvas de nivel representa un campo vectorial dual.

En particular, para espacios vectoriales de dimensión finita existe una biyección natural entre el espacio mismo y el espacio dual: cada vector está asociado de manera única con un vector dual y viceversa. El campo vectorial dual asociado con un campo vectorial está representado por los contornos ortogonales a las flechas del campo vectorial. Por el contrario, si comienza con un gráfico de contorno que representa un campo vectorial dual y dibuja flechas ortogonales con una longitud proporcional a la densidad del contorno, tiene la representación de flecha del campo vectorial asociado.

En esta imagen de flechas y contornos, la acción de un campo vectorial dual sobre un campo vectorial es el campo escalar que mide cuántos contornos atraviesa cada flecha. Si los contornos están más cerca (los vectores duales son más grandes) o las flechas son más largas (los vectores son más grandes), el resultado será un número mayor. Si las flechas apuntan en gran parte a lo largo de los contornos, entonces los campos están mal y el resultado es más pequeño (recuerde que esto significa que las flechas asociadas con los contornos, que son perpendiculares a esos contornos, serían perpendiculares a las flechas originales).

La maquinaria puede parecer un poco autoritaria, ya que en la geometría euclidiana realmente no hay ningún beneficio en usar contornos en lugar de sus flechas asociadas. Pero con métricas no planas, la conexión entre vectores y vectores duales se vuelve menos trivial. Por supuesto, entonces nuestras imágenes tampoco suelen funcionar tan bien.